[разуму ЛОРа][дифур]

>Как решать хотя бы численно?

Схема Рунге-Кутты какая-нибудь.

Как решать хотя бы численно?

Схема Рунге-Кутты какая-нибудь.

смотрел. Судя по всему, этот метод работает только для уравнений первого порядка: y'=f(y,x)

А если вот так: y = exp[p(x)]? Сведем к уравнению p"" = p, т.е. p будет синусом или косинусом.

Приведи к системе из 4х уравнений первого порядка и реши Рунге-Куттом.

В результате будет exp(Ax+B)*(A^4-Ax+B)=0

решение существует только для одной точки.

С p(x) более высоких порядков будет еще мрачнее, кажется.

>Приведи к системе из 4х уравнений первого порядка и реши Рунге-Куттом.

А как привести-то?

y'=z
z'=w
w'=v
v'=y(x)p(x)

понял. спасибо. будем копать дальше.

Эмм. есть проблема еще.

Рунге-Кутта хочет началльные условия в точке x₀,y₀. А у меня есть:

y(0), y'(0), y"(L), y"'(L).

Дак у тебя краевая задача получается.

>Дак у тебя краевая задача получается.

получается, да.

Не могу понять куда копать.

В принципе - задача исходит из задачи о перекладине.

Если у нее постоянное сечение, p(x) отсутствует. А в моем случае сечение не постоянное. Балка имеет слегка трапецевидную форму.

То есть сечение можно описать как A(x)=A/(Ax+B)

Ну и в общем случае ур. имеет вид y""-y/A(x)=0. с краевыми условиями.

s/A(x)=A\/(Ax+B)/A(x)=A\/(Cx+B)

>в максимумом в x=0

в максимумом

в максимумом

*раздался хлопок в теменной зоне*

Краевую задачу можно решить методом стрельбы, подбирая y"(0) и y"'(0) и решая задачу Коши, так чтобы значение y"(L) и y"'(L) стали равны заданными.

тогда метод стрельбы (или пристрелки) надо использовать

Линейное однородное дифференциальное уравнение третьего порядка с переменными коэффициентами.

Можно натравить на него преобразование Лапласа но гарантий там (как впрочем и всегда) не видно - выходит громоздкое интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода.

Матлабовским bvp4c (three-stage Lobatto IIIa formula) это можно решить, даже ничего не зная про свойства p(x). Если решение есть, конечно.
Нужно только свести уравнение четвертого порядка к системе из четырех уравнений первого порядка.

Теоретического решения найти не могу.

Посмотри в Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям
($27, дифуры 4 порядка, стр.164) Там они приводятся к уравнению Риккати.

очень хорошая ссылка. спасибо.

На странице 164 уравнение

f(x)y""+g(x)y"+h(x)y=0

сводится не к уравнению Риккати, а к

n⁽⁴⁾(x)=Ф(x)n(x), что в общем-то и является сабжем.