[матан] канонический изоморфизм. как понимать?

канонический - значит естественный и более менее однозначно определенный

Хотя все векторные пространства одинаковой размерности изоморфны, каноничности там нет, поскольку можно любой базис отобразить в любой. То есть этих изоморфизмов бесконечно много и все они равноправны.

А вот между конечномерным пространством и его сопряженным ситуация другая. Хотя и то, и то - векторные пространства одинаковой размерности и конечно изоморфны так же как в вышеописанном общем случае, наличие дополнительной связи между пространствами позволяет выделить из всего множества изоморфизмов четко определенный _один_ и его назвать каноническим.

дык о том и речь, что между пространством и его сопряженным нет канонического изоморфизма.

и я никак не могу осилить, что же это за зверь такой - канонический изоморфизм.

>дык о том и речь, что между пространством и его сопряженным нет канонического изоморфизма.

по крайней мере так упорно твердят в книжках и на лекции было.

Так, разберем подробнее:

1) канонический изоморфизм между конечномерным пространством и сопряженным к нему _при_наличии_скалярного_произведения_ есть. Он задается формулой:

u -> f(v)=(u,v)

Первое - это элемент пространства, второе линейный функционал на пространстве, то есть элемент сопряженного пространства.

Этот изоморфизм задан не в координатах, а в инвариантном виде, потому однозначно определен, поэтому каноничен.

2) если скалярного произведения нет, то канонический изоморфизм можно построить между пространством и _дважды_ сопряженным пространством:

v -> g_v(f)=f(v)

Первое - это элемент пространства, второе - линейная функция на линейных фунцкиях на пространстве, то есть элемент дважды сопряженного пространства.
Опять же изоморфизм определен инвариантно, поэтому каноничен.

Все четко укладывается в определение: каноничность = однозначность.


Какнонического изоморфизма может не быть в бесконечномерном случае. Там есть некоторые тонкости. В конечномерном же все четко определено.

>1) канонический изоморфизм между конечномерным пространством и сопряженным к нему _при_наличии_скалярного_произведения_ есть. Он задается формулой:

u -> f(v)=(u,v)

Первое - это элемент пространства, второе линейный функционал на пространстве, то есть элемент сопряженного пространства.

Этот изоморфизм задан не в координатах, а в инвариантном виде, потому однозначно определен, поэтому каноничен.

он может быть однозначно определен лишь если определить образы всех базисных векторов.

и непонятно, каким образом он однозначно определен.

Первое - это элемент пространства, второе - линейная функция на линейных фунцкиях на пространстве, то есть элемент дважды сопряженного пространства.

Опять же изоморфизм определен инвариантно, поэтому каноничен.

ну здесь еще понятно более менее. Ведь само пространство является дважды двойственным к самому себе. И еще можно интуитивно сказать что-то о «каноничности». Но все равно термин не понятен до конца.

А вот в первом случае вообще ничего не понятно.

Возьмем такой пример: особые точки треугольника - пересечение медиан, высот, биссектрис и срединных перпендикуляров. Почему они особые(каноничные) ?

Может стоит заменить «однозначность» на «уникальность» или «универсальность определения» ? Не знаю как лучше сказать.

Вот допустим определил ты изоморфизм на базисе. Он записался в виде матрицы nxn. Какие характеристики этого изоморфизма ты можешь придумать? Что пятый элемент третьего столбца матрицы равен нулю - неверно, в другом базисе матрица другая. Ни определитель не сохраняется, ни след. То есть нельзя взять и сказать: рассмотрим изморфизм
0 2
1 1

Без выбора базиса в обоих пространствах эта запись бессмысленна.

Зато сказать возьмем изоморфизм u -> f(.)=(u,.) можно. И это будет корректное определение на любом абстрактном векторном пространстве. Потому что определен этот автоморфизм на инвариантном языке.

Точно также если ты скажешь: рассмотрим точку на 1 см сдвинутую из ортоцентра ко второй вершине - точка-то эта есть, но она не замечательная точка треугольника. Она не канонично определена.

>Зато сказать возьмем изоморфизм u -> f(.)=(u,.) можно.

дык нельзя определить изоморфизм одним лишь определением метода отображения. Этого недостаточно. Надо отобразить все базисные ветктора.

но вообще я, кажется, начинаю понимать о чем речь. Хотя бы примерно.

Какнонического изоморфизма может не быть в бесконечномерном случае

спасибо, кстати, за объяснение этого момента :)

Что значит «метод отображения»? Я ведь гораздо круче определяю, чем просто на базисных векторах: я определяю изоморфизм его значениями на вообще _каждом_ векторе, в том числе и на базисных. Эта формула обозначает: возьмем _любую_ точку u пространства, и для неё определим её образ при изоморфизме по такому правилу.

Таким образом изоморфизм задается в лоб, как отображение множества на множество: значениями в каждой точке.

>возьмем _любую_ точку u пространства, и для неё определим её образ при изоморфизме по такому правилу.

в том-то и дело, что совсем не обязательно получится изоморфизм. Таким образом получится линейное отображение, но совершенно не обязательно оно окажется изоморфизмом.

хотя вроде если подумать, то получим, то достаточное условие для изоморфизма - это ker(f)=0. в данном случае нулевое отображение будет только если вектор u нулевой.

>Какнонического изоморфизма может не быть в бесконечномерном случае. Там есть некоторые тонкости.

можешь вспомнить, если не трудно?

Так. Вроде вкурил наконец-то, что это такое.

То есть канонический изоморфизм - это такой изоморфизм, для задания которого достаточно задать простое правило отображения для каждого вектора. независимо от базисов и т.п.

Ну правильно, определить мало, надо доказать, что полученное отображение всегда есть изоморфизм, то есть сумму переводит в сумму и умножение на число в умножение на число. Так берем и доказываем бесхитростно совершенно:

(a*u1 + b*u2) -> (a*u1+b*u2, .)= a*(u1,.) + b*(u2, .)

Чтд.

а что делать например с пространством полиномов?

Ну допустим возмем полиномы V=R[x] третьей степени. И скалярное произведение в виде интеграла int(u(x)*v(x),x=-1..1). то есть каждый полином отображает другой полином в R, а значит тоже принадлежит V*.

Но можно же отобразить и просто подставив в полиноме вместо x какое-то число. Например 2. число два тоже отображает полиномы в R.

Но уже совсем по другому.

В бесконечномерном пространстве проблемы возникают у второго примера. Дело в том что второе сопряженное пространство может быть больше самого пространства.

То есть само по себе отображение u -> g_u(f):=f(u) там задать можно. И оно точно также будет отображать элемент пространства в элемент дважды сопряженного пространства. Но есть одно но: не любой элемент второго сопряженного пространства можно представить в виде g_u для некоторого u.

Вместо канонического изоморфизма X _на_ X** там будет канонический гомоморфизм X _в_ X**.

И только некоторые пространства будут обладать свойством X~=X**. Они выделяются в отдельный класс и называются рефлексивными пространствами.

А вот 1-ый пример, со скалярным произведением, остается в силе. Берем ту же формулу, определяем гомоморфизм u -> (u,.). Но поскольку есть Теорема Рисса об общем виде линейного ограниченного функционала в гильбертовом пространстве (которая как раз и говорит, что любой линейный функционал на гильбертовом пространстве имеет вид (u, .) для некоторого u), то этот каноничный гомоморфизм будет изоморфизмом.

> Но можно же отобразить и просто подставив в полиноме вместо x какое-то число. Например 2. число два тоже отображает полиномы в R.

Ну одну точку брать нельзя, надо как минимум 4. И по сути это все та же замена базиса.

Но для какой-то конкретной задачи, если выбор этих четырех фиксированных характеристических точек обусловлен какими-то дополнительными соображениями, такое представление полинома тоже можно назвать каноническим. Каноническим не вообще, а в рамках этой задачи.

>> Но можно же отобразить и просто подставив в полиноме вместо x какое-то число. Например 2. число два тоже отображает полиномы в R.

Ну одну точку брать нельзя, надо как минимум 4. И по сути это все та же замена базиса.

не. я не то имел в виду.

Вот например имеем вектор u(x). он, допустим такой: x^3+x^2-1

отображаем его на R так: f(u(x))=u(2). То есть с помощью числа 2 я могу отобразить любой полином из пространства V на R.

Ну это совсем не изоморфизм же. И даже не инъективный гомоморфизм. У тебя много разных полиномов при таком отображении попадут в одну точку.

И каноничности опять же нет, если это число «2» не обусловлено какими-то дополнительными, вытекающими из конкретной задачи, причинами.

>Ну это совсем не изоморфизм же. И даже не инъективный гомоморфизм. У тебя много разных полиномов при таком отображении попадут в одну точку.

но такое отображение линейно. А значит принадоежит пространству V*. А значит должно по идее выражаться через скалярное произведение в помощью какого-то полинома, как ты говоришь (раз существует указанный тобой канонический изоморфизм V~=V*). Но это невозможно, так как скалярное произведение - это интеграл на интервале.

Или я чего-то не учел?

хотя по идее подставив число два во все базисные векторы простарнства V и получив значения, мы можем составить систему уравнений и найти коэффициенты при степенях искомого полинома q, который при «скалярном» воздействии на каждый из базисных векторов будет давать u1(2), u2(2), и u3(2).

А, я просто не поняла вопроса, значит.

Но это невозможно, так как скалярное произведение - это интеграл на интервале.

Возьмем многочлен с неопределенными коэффициентами f(t)= At^3 + Bt^2 + Ct^ + D. Пусть g(t)=x t^3 + y t^2 + z t + w - это многочлен, соответствующий искомому функционалу.

Тогда для любых A, B, C, D должно выполняться равенство: \int_0^5 (A t^3 + B t^2 + C t^ + D)*(x t^3 + y t^2 + z t + w) dt = 2^3 A + 2^2 B + 2 C + D

Если посчитать интеграл, слева окажется линейная комбинация A \alpha(x,y,z,w) + B \beta(x,y,z,w) + C \gamma(x,y,z,w) + D \delta(x,y,z,w)

Равенство должно быть верно для любого набора ABCD, поэтому приравниваем коэффициенты, получаем _линейную_ систему из четырех уравнений на четыре неизвестных. Решаем, получаем наш функционал в виде скалярного произведения

А вот 1-ый пример, со скалярным произведением, остается в силе.

Не путаем бесконечномерные пространства с гильбертовыми.

Действительно, полнота нужна же ещё.

Действительно, полнота нужна же ещё.

Не только. Банановые пространства вполне себе полны, но не изоморфны своему второму двойственному.

Это если забыть о том, что двойственное топологическое векторное (о котором говорит теорема Рисса) и двойственное векторное — это разные вещи.

Не, тут вы путаете. Обсуждались два разных примера:

В первом наличие скалярного произведения предполагается по условию. Но в бесконечномерном случае надо ещё добавить полноту.

Правильное утверждение такое: Если пространство X со скалярным произведением и полно, то оно гильбертово. В гильбертовом пространстве теорема Рисса верна, и потому X канонически изоморфен X*.

Во втором случае, без скалярного произведения, (сюда же попадают банаховы пространства) изоморфизма может не быть, есть только гомоморфизм. Это я и написала выше.

двойственное топологическое векторное (о котором говорит теорема Рисса) и двойственное векторное

В каком смысле здесь используется слово «топологическое» ?

В гильбертовом пространстве теорема Рисса верна, и потому X канонически изоморфен X*.

Дополнение: если через X* мы обозначаем топологическое двойственное.

Это я и написала выше.

Да, действительно, попутал.

В каком смысле здесь используется слово «топологическое» ?

Ну, надо же оговаривать, что мы рассматриваем не все линейные функционалы, а только непрерывные. А то, опять-таки, никакого изоморфизма и близко не будет.

> Ну, надо же оговаривать, что мы рассматриваем не все линейные функционалы, а только непрерывные

А, это подразумевалось, да.