История изменений

поясните, пожалуйста, на пальцах за теорию Галуа: в чём она состоит, почему она была такой революционной?

исторически стояла задача разрешимости алгебраических уравнений в общем виде в радикалах - иными словами, для любого ли алгебраического уравнения (первой, второй, третей, n-ной степени) существует формула, выражающая корни через коэффициенты с помощью операций +, -, *, / и операции взятия корня. уравнения первой степени тривиальны, квадратные уравнения умели решать и древние греки, и древние шумеры; первая сложность возникла с кубическими уравнениями: долгое время не существовало не то что общей формулы, но и понимания того, как решать частные случаи. одним из первых, кто смог классифицировать частные случае кубических уравнений, был Омар Хайям,- он разбил все кубические уравнения на классы и показал (посредством кубических сечений) как решать каждый из них. общая формула для кубических уравнений была (крайне занятным образом) получена Кардано во времена эпохи Возрождения; общую формулу для уравнений четвёртой степени нашёл его слуга и ученик Феррари

после чего костью в горле стали уравнения пятой степени. предложенный Кардано метод для них не работал: идея была в сведении основного уравнения к вспомогательному, которое обычно оказывалось меньшей степени, чем основное; в случае уравнения пятой степени вспомогательное имело шестую степень, и решить его было ещё сложней. математика становилась серъёзной наукой, и многие известные учёные бились над задачей поиска формулы - или доказательства её отсутствия. Лагранж показал, что к задаче разрешимости уравнения имеют отношение перестановки корней, но не довёл мысль до конца; Руффини, а за ним и Абель доказали, что уравнение пятой (и любой большей) степени в общем виде в радикалах неразрешимо

проблема в том, что их доказательства были неконструктивными. они не отвечали на вопрос «почему?». почему для меньших степеней формулы есть, а от пятой и выше - нет? почему для некоторых уравнений пятой степени формулу получить можно, а для некоторых нельзя? Гаусс, в частности, показал общий метод решения циклотомических уравнений любой степени - но почему именно они были разрешимыми в радикалах, понятно не было

и тогда появился Галуа. в свои 18 лет он (изучив монографию Лагранжа) предложил революционный подход к решению нерешаемых задач: если мы не можем решить уравнение, давайте вместо бесплодных попыток решения изменим условия, в которых мы его решаем, так, чтобы решение точно было - и затем оценим, что именно нам пришлось изменять. Галуа рассматривал перестановки корней уравнения (то, что сейчас называется конечной группой перестановок) и рассматривал, как разрешимость зависит от структуры этой группы для каждого случая. внутренней структуре группы перестановок корней он поставил в соответствие структуру числового множества, в котором эти корни искались. расширяем группу - расширяем множество, добавляем в него корни, которых там раньше не было. можем построить ту группу, которая нам нужна, не использовав для расширения множества невозможные (невыразимые через радикалы) числа - значит, у уравнения будет формула, выражающая корни через коэффициенты. не можем - значит, такой формулы нет

идея была революционной по целому ряду причин. это было первое использование теории групп (которая тогда так ещё не называлась), использование того, что позже назовут соответствием Галуа (параллель между алгебраическими структурами, когда построение в одном даёт информацию о другом), и сугубо конструктивное (алгоритмическое) доказательство существования. почему одни уравнения имеют формулу для решения, а другие - нет? да потому что группы Галуа (группы перестановок корней) у первых разрешимы, а у вторых - нет. это было не просто жонглирование числами в надежде получения противоречия - это была возможность заглянуть во внутреннюю сущность абстрактных алгебраических объектов, и вынести оттуда новую информацию

поясните, пожалуйста, на пальцах за теорию Галуа: в чём она состоит, почему она была такой революционной?

исторически стояла задача разрешимости алгебраических уравнений в общем виде в радикалах - иными словами, для любого ли алгебраического уравнения (первой, второй, третей, n-ной степени) существует формула, выражающая корни через коэффициенты с помощью операций =, -, *, / и операции взятия корня. уравнения первой степени тривиальны, квадратные уравнения умели решать и древние греки, и древние шумеры; первая сложность возникла с кубическими уравнениями: долгое время не существовало не то что общей формулы, но и понимания того, как решать частные случаи. одним из первых, кто смог классифицировать частные случае кубических уравнений, был Омар Хайям,- он разбил все кубические уравнения на классы и показал (посредством кубических сечений) как решать каждый из них. общая формула для кубических уравнений была (крайне занятным образом) получена Кардано во времена эпохи Возрождения; общую формулу для уравнений четвёртой степени нашёл его слуга и ученик Феррари

после чего костью в горле стали уравнения пятой степени. предложенный Кардано метод для них не работал: идея была в сведении основного уравнения к вспомогательному, которое обычно оказывалось меньшей степени, чем основное; в случае уравнения пятой степени вспомогательное имело шестую степень, и решить его было ещё сложней. математика становилась серъёзной наукой, и многие известные учёные бились над задачей поиска формулы - или доказательства её отсутствия. Лагранж показал, что к задаче разрешимости уравнения имеют отношение перестановки корней, но не довёл мысль до конца; Руффини, а за ним и Абель доказали, что уравнение пятой (и любой большей) степени в общем виде в радикалах неразрешимо

проблема в том, что их доказательства были неконструктивными. они не отвечали на вопрос «почему?». почему для меньших степеней формулы есть, а от пятой и выше - нет? почему для некоторых уравнений пятой степени формулу получить можно, а для некоторых нельзя? Гаусс, в частности, показал общий метод решения циклотомических уравнений любой степени - но почему именно они были разрешимыми в радикалах, понятно не было

и тогда появился Галуа. в свои 18 лет он (изучив монографию Лагранжа) предложил революционный подход к решению нерешаемых задач: если мы не можем решить уравнение, давайте вместо бесплодных попыток решения изменим условия, в которых мы его решаем, так, чтобы решение точно было - и затем оценим, что именно нам пришлось изменять. Галуа рассматривал перестановки корней уравнения (то, что сейчас называется конечной группой перестановок) и рассматривал, как разрешимость зависит от структуры этой группы для каждого случая. внутренней структуре группы перестановок корней он поставил в соответствие структуру числового множества, в котором эти корни искались. расширяем группу - расширяем множество, добавляем в него корни, которых там раньше не было. можем построить ту группу, которая нам нужна, не использовав для расширения множества невозможные (невыразимые через радикалы) числа - значит, у уравнения будет формула, выражающая корни через коэффициенты. не можем - значит, такой формулы нет

идея была революционной по целому ряду причин. это было первое использование теории групп (которая тогда так ещё не называлась), использование того, что позже назовут соответствием Галуа (параллель между алгебраическими структурами, когда построение в одном даёт информацию о другом), и сугубо конструктивное (алгоритмическое) доказательство существования. почему одни уравнения имеют формулу для решения, а другие - нет? да потому что группы Галуа (группы перестановок корней) у первых разрешимы, а у вторых - нет. это было не просто жонглирование числами в надежде получения противоречия - это была возможность заглянуть во внутреннюю сущность абстрактных алгебраических объектов, и вынести оттуда новую информацию

поясните, пожалуйста, на пальцах за теорию Галуа: в чём она состоит, почему она была такой революционной?

исторически стояла задача разрешимости алгебраических уравнений в общем виде в радикалах - иными словами, для любого ли алгебраического уравнения (первой, второй, третей, n-ной степени) существует формула, выражающая корни через коэффициенты. уравнения первой степени тривиальны, квадратные уравнения умели решать и древние греки, и древние шумеры; первая сложность возникла с кубическими уравнениями: долгое время не существовало не то что общей формулы, но и понимания того, как решать частные случаи. одним из первых, кто смог классифицировать частные случае кубических уравнений, был Омар Хайям,- он разбил все кубические уравнения на классы и показал (посредством кубических сечений) как решать каждый из них. общая формула для кубических уравнений была (крайне занятным образом) получена Кардано во времена эпохи Возрождения; общую формулу для уравнений четвёртой степени нашёл его слуга и ученик Феррари

после чего костью в горле стали уравнения пятой степени. предложенный Кардано метод для них не работал: идея была в сведении основного уравнения к вспомогательному, которое обычно оказывалось меньшей степени, чем основное; в случае уравнения пятой степени вспомогательное имело шестую степень, и решить его было ещё сложней. математика становилась серъёзной наукой, и многие известные учёные бились над задачей поиска формулы - или доказательства её отсутствия. Лагранж показал, что к задаче разрешимости уравнения имеют отношение перестановки корней, но не довёл мысль до конца; Руффини, а за ним и Абель доказали, что уравнение пятой (и любой большей) степени в общем виде в радикалах неразрешимо

проблема в том, что их доказательства были неконструктивными. они не отвечали на вопрос «почему?». почему для меньших степеней формулы есть, а от пятой и выше - нет? почему для некоторых уравнений пятой степени формулу получить можно, а для некоторых нельзя? Гаусс, в частности, показал общий метод решения циклотомических уравнений любой степени - но почему именно они были разрешимыми в радикалах, понятно не было

и тогда появился Галуа. в свои 18 лет он (изучив монографию Лагранжа) предложил революционный подход к решению нерешаемых задач: если мы не можем решить уравнение, давайте вместо бесплодных попыток решения изменим условия, в которых мы его решаем, так, чтобы решение точно было - и затем оценим, что именно нам пришлось изменять. Галуа рассматривал перестановки корней уравнения (то, что сейчас называется конечной группой перестановок) и рассматривал, как разрешимость зависит от структуры этой группы для каждого случая. внутренней структуре группы перестановок корней он поставил в соответствие структуру числового множества, в котором эти корни искались. расширяем группу - расширяем множество, добавляем в него корни, которых там раньше не было. можем построить ту группу, которая нам нужна, не использовав для расширения множества невозможные (невыразимые через радикалы) числа - значит, у уравнения будет формула, выражающая корни через коэффициенты. не можем - значит, такой формулы нет

идея была революционной по целому ряду причин. это было первое использование теории групп (которая тогда так ещё не называлась), использование того, что позже назовут соответствием Галуа (параллель между алгебраическими структурами, когда построение в одном даёт информацию о другом), и сугубо конструктивное (алгоритмическое) доказательство существования. почему одни уравнения имеют формулу для решения, а другие - нет? да потому что группы Галуа (группы перестановок корней) у первых разрешимы, а у вторых - нет. это было не просто жонглирование числами в надежде получения противоречия - это была возможность заглянуть во внутреннюю сущность абстрактных алгебраических объектов, и вынести оттуда новую информацию