История изменений
Исправление manul91, (текущая версия) :
Пусть
N(n): вероятность что не упало одно и то же значение 4 раза подряд, вплоть до n-того броска включительно.
P(n): вероятность что как раз на n-том броске, ВПЕРВыЕ попались 4 одинаковых значения (очевидно, последние четыре).
Имеем очевидную зависимость:
A) N(n) = 1 - (P(1) + P(2) + P(3) + .... + P(n))
Далее, чтобы впервые попались 4 одинаковых значения на n-том броске, нужно чтобы вплоть до n-3тьем не попадались одинаковых значения, и потом три раза подряд выпало значение то же самое как последнее при n-3 тьем броске. Или:
B) P(n) = N(n-3)*1/6*1/6*1/6= N(n-3)/6^3
Еще, для начальных значений знаем, что
P(1), P(2), P(3) = 0;
N(1), N(2), N(3) = 1;
Из A и B выше можно рекуррентно вычислить как N(n) так и P(n) для любого n совершенно точно (не знаю возможно ли расписать их в явном виде, как функциональной зависимости от n в виде формулы).
Например, для n=4 получаем из B и A соответно:
P(4)=N(1)/6^3 = 1/6^3
N(4) = 1 - (P(4) + 0 + 0 + 0) = 1 - 1/6^3
Искомая вероятность, это
1 - N(1001)
(неверно, что вплоть до 1001-ного броска ни разу не попались 4 одинаковых)
P.S.
Вместо A) можно пользоваться эквивалентным соотношением (выводится легко если расписать A) для двух последовательных n и вычесть друг от друга):
N(n) = N(n-1) - P(n)
или в итоге используя B, свести к единственном рекуррентном соотношении для N(n)
N(n) = N(n-1) - N(n-3)/6^3
Исправление manul91, :
Пусть
N(n): вероятность что не упало одно и то же значение 4 раза подряд, вплоть до n-того броска включительно.
P(n): вероятность что как раз на n-том броске, ВПЕРВыЕ попались 4 одинаковых значения (очевидно, последние четыре).
Имеем очевидную зависимость:
A) N(n) = 1 - (P(1) + P(2) + P(3) + .... + P(n))
Далее, чтобы впервые попались 4 одинаковых значения на n-том броске, нужно чтобы вплоть до n-3тьем не попадались одинаковых значения, и потом три раза подряд выпало значение то же самое как последнее при n-3 тьем броске. Или:
B) P(n) = N(n-3)*1/6*1/6*1/6= N(n-3)/6^3
Еще, для начальных значений знаем, что
P(1), P(2), P(3) = 0;
N(1), N(2), N(3) = 1;
Из A и B выше можно рекуррентно вычислить как N(n) так и P(n) для любого n совершенно точно (не знаю возможно ли расписать их в явном виде, как функциональной зависимости от n в виде формулы).
Например, для n=4 получаем из B и A соответно:
P(4)=N(1)/6^3 = 1/6^3
N(4) = 1 - (P(4) + 0 + 0 + 0) = 1 - 1/6^3
Искомая вероятность, это
1 - N(1001)
(неверно, что вплоть до 1001-ного броска ни разу не попались 4 одинаковых)
Исходная версия manul91, :
Пусть
N(n): вероятность что не упало одно и то же значение 4 раза подряд, вплоть до n-того броска включительно.
P(n): вероятность что как раз на n-том броске, ВПЕРВыЕ попались 4 одинаковых значения (очевидно, последние четыре).
Имеем очевидную зависимость:
A) N(n) = 1 - (P(1) + P(2) + P(3) + .... + P(n))
Далее, чтобы впервые попались 4 одинаковых значения на n-том броске, нужно чтобы вплоть до n-3тьем не попадались одинаковых значения, и потом три раза подряд выпало значение то же самое как последнее при n-3 тьем броске. Или:
B) P(n) = N(n-3)*1/6*1/6*1/6= N(n-3)/6^3
Еще, для начальных значений знаем, что
P(1), P(2), P(3) = 0; P(4)=1/6^3
N(1), N(2), N(3) = 1; N(4)=1-1/6^3
Из A и B выше можно рекуррентно вычислить как N(n) так и P(n) для любого n совершенно точно (не знаю возможно ли расписать их в явном виде, как функциональной зависимости от n в виде формулы).
Искомая вероятность, это
1 - N(1001)
(неверно, что вплоть до 1001-ного броска ни разу не попались 4 одинаковых)