История изменений

Есть неподвижная вертикальная ракета массы M. Она за время dt выбрасывает вниз газ массой m со скоростью u относительно сопла.

Также на нее действует сила тяжести M * g, направленная вниз.

Найдем соотношения между M, m и u, чтобы ракета сохраняла нулевую вертикальную скорость.

В начальный момент система покоится, импульс ракеты и газа равен 0. Потом, через время dt, газ сгорает и вылетает через сопло. Т.к. на всю систему действует сила тяжести, то суммарный импульс системы ракета-газ равен силе тяжести, помноженной на dt.

Масса ракеты после сгорания газа равна (M-m), масса газа m, на систему в целом действует сила тяжести M*g, и потому ее импульс через время dt будет равен M*g*dt.

Так как мы хотим, чтобы ракета покоилась, весь этот импульс должен прийтись на газ. Газ имеет скорость u, его масса m, потому его импульс равен m*u.

Таким образом, приходим к выводу, что m*u = M*g*dt, или же

u = M*dt/m*g = M*g/k, где k = m/dt - расход массы газа.

Также, заметим что масса ракеты уменьшается со временем:

dM/dt = -k

В сумме, наша система описывается системой уравнений:

u(t) = M(t)/k(t)*g

dM(t)/dt = -k(t)

У есть 2 уравнения на 3 функции, потому есть свобода выбора решения. Мы можем выбрать фиксированный k(t), и варьировать скорость газа u, или же фиксировать скорость газа, варьируя k(t), или же выбрать еще какое подходящее нам решение

Что до расхода энергии, то за время dt масса m разгоняется до скорости u, и потому расход энергии равен m*u*u/2, а потребляемая двигателем мощность равна k*u*u/2

Есть неподвижная вертикальная ракета массы M. Она ежесекундно выбрасывает вниз газ массой m со скоростью u относительно сопла.

Также на нее действует сила тяжести M * g, направленная вниз.

Найдем соотношения между M, m и u, чтобы ракета сохраняла нулевую вертикальную скорость.

В начальный момент система покоится, импульс ракеты и газа равен 0. Потом, через время dt, газ сгорает и вылетает через сопло. Т.к. на всю систему действует сила тяжести, то суммарный импульс системы ракета-газ равен силе тяжести, помноженной на dt.

Масса ракеты после сгорания газа равна (M-m), масса газа m, на систему в целом действует сила тяжести M*g, и потому ее импульс через время dt будет равен M*g*dt.

Так как мы хотим, чтобы ракета покоилась, весь этот импульс должен прийтись на газ. Газ имеет скорость u, его масса m, потому его импульс равен m*u.

Таким образом, приходим к выводу, что m*u = M*g*dt, или же

u = M*dt/m*g = M*g/k, где k = m/dt - расход массы газа.

Также, заметим что масса ракеты уменьшается со временем:

dM/dt = -k

В сумме, наша система описывается системой уравнений:

u(t) = M(t)/k(t)*g

dM(t)/dt = -k(t)

У есть 2 уравнения на 3 функции, потому есть свобода выбора решения. Мы можем выбрать фиксированный k(t), и варьировать скорость газа u, или же фиксировать скорость газа, варьируя k(t), или же выбрать еще какое подходящее нам решение

Что до расхода энергии, то за время dt масса m разгоняется до скорости u, и потому расход энергии равен m*u*u/2, а потребляемая двигателем мощность равна k*u*u/2