История изменений

Вы полностью правы. Приведу лишь простой пример, который иллюстрирует то, что я имел в виду.

Рассмотрим множество непрерывных на отрезке [a,b] действительнозначных функций. Это множество обозначается C[a,b]. Снабдив его поточечным сложением функций и поточечным умножением на скаляр, т.е. привычными операциями, мы получим линейное пространство. Но когда говорят «пространство C[a,b]», имеется в виду именно Банахово пространство, которое, конечно-же, по определению имеет линейную структуру, но главное в нем - норма. Если мы выберем другую норму, например L1-норму вместо стандартной для C[a,b] sup-нормы, то мы уже не вправе называть это пространством C[a,b]. Мы должны описать это так: пространство, которое имеет носителем C[a,b] как множество, снабженное L1-нормой.

Точно так же и с Lp. Если мы говорим пространство Lp, то имеется в виду банахово (а в случае p=2 даже гильбертово) пространство, которое прошло факторизацию и снабжено интегральной нормой. Именно поэтому я и говорю, что понятие непрерывности в пространство Lp не переносится дословно. Если мыслить Lp как множество, то почему бы и нет.

Более того, развивая Вашу мысль, можно сказать так: линейное пространство над полем K, с носителем Lp как множеством и стандартными операциями сложения функций и умножения на элемент из K. Тогда и метрика не нужна и о непрерывности вполне можно говорить.

Вы полностью правы. Приведу лишь простой пример, который иллюстрирует то, что я имел в виду.

Рассмотрим множество непрерывных на отрезке [a,b] действительнозначных функций. Это множество обозначается C[a,b]. Снабдив его поточечным сложением функций и поточечным умножением на скаляр, т.е. привычными операциями, мы получим линейное пространство. Но когда говорят «пространство C[a,b]», имеется в виду именно Банахово пространство, которое, конечно-же, по определению имеет линейную структуру, но главное в нем - норма. Если мы выберем другую норму, например L1-норму вместо стандартной для C[a,b] sup-нормы, то мы уже не вправе называть это пространством C[a,b]. Мы должны описать это так: пространство, которое имеет носителем C[a,b] как множество, снабженное L1-нормой.

Точно так же и с Lp. Если мы говорим пространство Lp, то имеется в виду банахово (а в случае p=2 даже гильбертово) пространство, которое прошло факторизацию и снабжено интегральной нормой. Именно поэтому я и говорю, что понятие непрерывности в пространство Lp не переносится дословно. Если мыслить Lp как множество, то почему бы и нет.

Более того, развивая Вашу мысль, можно сказать так: линейное пространство над полем K, с носителем Lp как множеством и стандартными операциями сложения функций и умножения на элемент из K. Тогда и метрика не нужна и о сходимости вполне можно говорить.