История изменений

Попробую описать поподробнее. В общем, есть у нас теорема Реллиха-Кондрачева о том, что Соболево пространство H(X) на относительно компактном носителе компактно вкладывается в простанство C(X). Отсюда, если имеем слабо сходящуюся последовательность в H(X), то она будет поточечно сходится с C(X), если X сигма-компактен.

Нужна эта шняга, чтобы показать слабую полунепрерывность снизу некоторого функционала из C(X)* (там посложнее, но вроде так тоже верно) на таких последовательностях.

До этого я как делал: берем слабо сходящуюся последовательность в H(X) ну и со всякими прибаутками показываем существование подпоследовательности, сходящейся поточечно. А там уже по теореме Фату получаем полунепрерывность: мера(liminf(f_n)) ≤ liminf мера(f_n)

сами функции f_n имеют вид f(t,x_n(t),v). Где собсно x_n и есть слабо сходящаяся в H(X) последовательность. То есть по пути еще надо показать поточечную сходимость суперпозиции f°x.

Это все можно на эпсилонтике изложить. Но вот возникла идея с топологиями поработать. Вводим на C(X) топологию компактной сходимости. Показываем, что f непрерывно отображает из пространства C(X) в пространство C(X×V), снабженными вышеописанными топологиями.

Вместе с той теоремой Реллиха-Кондрачева получаем, что образ последовательности x_n под отображением f сходится в C(X×V).

Как-то так.

Конечно сумбурно объяснил... Я бы хотел действительно понять, имеет ли смысл изголяться.

Ах да, сам функционал имеет вид J(µ,x)=\int_T \int_V f(t,x(t),v) dµ(v) dt

Попробую описать поподробнее. В общем, есть у нас теорема Реллиха-Кондрачева о том, что Соболево пространство H(X) на относительно компактном носителе компактно вкладывается в простанство C(X). Отсюда, если имеем слабо сходящуюся последовательность в H(X), то она будет поточечно сходится с C(X), если X сигма-компактен.

Нужна эта шняга, чтобы показать слабую полунепрерывность снизу некоторого функционала из C(X)* (там посложнее, но вроде так тоже верно) на таких последовательностях.

До этого я как делал: берем слабо сходящуюся последовательность в H(X) ну и со всякими прибаутками показываем существование подпоследовательности, сходящейся поточечно. А там уже по теореме Фату получаем полунепрерывность: мера(liminf(f_n)) ≤ liminf мера(f_n)

сами функции f_n имеют вид f(t,x_n(t),v). Где собсно x_n и есть слабо сходящаяся в H(X) последовательность. То есть по пути еще надо показать поточечную сходимость суперпозиции f°x.

Это все можно на эпсилонтике изложить. Но вот возникла идея с топологиями поработать. Вводим на C(X) топологию компактной сходимости. Показываем, что f непрерывно отображает из пространства C(X) в пространство C(X×V), снабженными вышеописанными топологиями.

Вместе с той теоремой Реллиха-Кондрачева получаем, что образ последовательности x_n под отображением f сходится в C(X×V).

Как-то так.

Конечно сумбурно объяснил... Я бы хотел действительно понять, имеет ли смысл изголяться.

Ах да, сам функционал имеет вид J(µ,x)=\int_T \int_V f(t,x(t),v) d µ(v) dt

Попробую описать поподробнее. В общем, есть у нас теорема Реллиха-Кондрачева о том, что Соболево пространство H(X) на относительно компактном носителе компактно вкладывается в простанство C(X). Отсюда, если имеем слабо сходящуюся последовательность в H(X), то она будет поточечно сходится с C(X), если X сигма-компактен.

Нужна эта шняга, чтобы показать слабую полунепрерывность снизу некоторого функционала из C(X)* (там посложнее, но вроде так тоже верно) на таких последовательностях.

До этого я как делал: берем слабо сходящуюся последовательность в H(X) ну и со всякими прибаутками показываем существование подпоследовательности, сходящейся поточечно. А там уже по теореме Фату получаем полунепрерывность: мера(liminf(f_n)) ≤ liminf мера(f_n)

сами функции f_n имеют вид f(t,x_n(t),v). Где собсно x_n и есть слабо сходящаяся в H(X) последовательность. То есть по пути еще надо показать поточечную сходимость суперпозиции f°x.

Это все можно на эпсилонтике изложить. Но вот возникла идея с топологиями поработать. Вводим на C(X) топологию компактной сходимости. Показываем, что f непрерывно отображает из пространства C(X) в пространство C(X×V), снабженными вышеописанными топологиями.

Вместе с той теоремой Реллиха-Кондрачева получаем, что образ последовательности x_n под отображением f сходится в C(X×V).

Как-то так.

Конечно сумбурно объяснил... Я бы хотел действительно понять, имеет ли смысл изголяться.

Ах да, сам функционал имеет вид J(µ(v),x)=\int_T \int_V f(t,x(t),v) d µ(v) dt

Попробую описать поподробнее. В общем, есть у нас теорема Реллиха-Кондрачева о том, что Соболево пространство H(X) на относительно компактном носителе компактно вкладывается в простанство C(X). Отсюда, если имеем слабо сходящуюся последовательность в H(X), то она будет поточечно сходится с C(X), если X сигма-компактен.

Нужна эта шняга, чтобы показать слабую полунепрерывность снизу некоторого функционала из C(X)* (там посложнее, но вроде так тоже верно) на таких последовательностях.

До этого я как делал: берем слабо сходящуюся последовательность в H(X) ну и со всякими прибаутками показываем существование подпоследовательности, сходящейся поточечно. А там уже по теореме Фату получаем полунепрерывность: мера(liminf(f_n)) ≤ liminf мера(f_n)

сами функции f_n имеют вид f(t,x_n(t),v). Где собсно x_n и есть слабо сходящаяся в H(X) последовательность. То есть по пути еще надо показать поточечную сходимость суперпозиции f°x.

Это все можно на эпсилонтике изложить. Но вот возникла идея с топологиями поработать. Вводим на C(X) топологию компактной сходимости. Показываем, что f непрерывно отображает из пространства C(X) в пространство C(X×V), снабженными вышеописанными топологиями.

Вместе с той теоремой Реллиха-Кондрачева получаем, что образ последовательности x_n под отображением f сходится в C(X×V).

Как-то так.

Конечно сумбурно объяснил... Я бы хотел действительно понять, имеет ли смысл изголяться.