История изменений
Исправление alpha, (текущая версия) :
Можно конечно всё чуть более запутать...
На самом деле переход из базиса в базис сам по себе - это не преобразование пространства.
Есть некое пространство M. Оно абстрактно и по сути является множеством точек, с двумя операциями на нём.
Что такое базис? Набор элементов(точек) этого пространства. Удовлетворяющих некоторым свойствам, но не суть. Взяли тут n точек, или вот n точек там чуть подальше в сторонке. Получили два базиса. Можем на них оба смотреть.
И что тогда значит что мы из одного базиса перешли в другой? Да пока ничего. Потому что мы пока ни в какой базис не «зашли» ещё.
Как это сделать?
С помощью базиса (ака набора точек) мы можем сопоставить каждой точке нашего абстрактного пространства M точку в одном конкретном нам знакомом от и до пространстве R^n.
Так что выбор базиса - это на самом деле выбор взаимнооднозначного отображения
A: M -> R^n
Выбирая второй базис, мы строим второе отображение
B: M -> R^n
Переход из одного базиса в другой - это отображение _координаты_ точки полученной в первом базисе в _координату_ этой же точки во втором.
То есть это не линейный оператор в M, это линейный оператор F из R^n в R^n:
F
R^n --> R^n
^ ^
A | | B
M = M
такой что
F(А(x)) = B(x)
Отсюда мы получаем матрицу. При том что в самом M никакого преобразования пространства не происходит, точки M никуда не движутся и не отображаются.
Обычно M отождествляют с R^n (через выбор одного из базисов), и операторы на пространстве координат считают операторами на самом исходном пространстве. Но это не совсем одно и то же.
Исходная версия alpha, :
Можно конечно всё чуть более запутать...
На самом деле переход из базиса в базис сам по себе - это не преобразование пространства.
Есть некое пространство M. Оно абстрактно и по сути является множеством точек, с двумя операциями на нём.
Что такое базис? Набор элементов(точек) этого пространства. Удовлетворяющих некоторым свойствам, но не суть. Взяли тут n точек, или вот n точек там чуть подальше в сторонке. Получили два базиса. Можем на них оба смотреть.
И что тогда значит что мы из одного базиса перешли в другой? Да пока ничего. Потому что мы пока ни в какой базис не «зашли» ещё.
Как это сделать?
С помощью базиса (ака набора точек) мы можем сопоставить каждой точке нашего абстрактного пространства M некоторую одну точку в одном конкретном нам знакомом от и до пространстве R^n.
Так что выбор базиса - это на самом деле выбор взаимнооднозначного отображения
A: M -> R^n
Выбирая второй базис, мы строим второе отображение
B: M -> R^n
Переход из одного базиса в другой - это отображение _координаты_ точки полученной в первом базисе в _координату_ этой же точки во втором.
То есть это не линейный оператор в M, это линейный оператор F из R^n в R^n:
F
R^n --> R^n
^ ^
A | | B
M = M
такой что
F(А(x)) = B(x)
Отсюда мы получаем матрицу. При том что в самом M никакого преобразования пространства не происходит, точки M никуда не движутся и не отображаются.
Обычно M отождествляют с R^n (через выбор одного из базисов), и операторы на пространстве координат считают операторами на самом исходном пространстве. Но это не совсем одно и то же.