LINUX.ORG.RU

История изменений

Исправление alpha, (текущая версия) :

Можно конечно всё чуть более запутать...

На самом деле переход из базиса в базис сам по себе - это не преобразование пространства.

Есть некое пространство M. Оно абстрактно и по сути является множеством точек, с двумя операциями на нём.

Что такое базис? Набор элементов(точек) этого пространства. Удовлетворяющих некоторым свойствам, но не суть. Взяли тут n точек, или вот n точек там чуть подальше в сторонке. Получили два базиса. Можем на них оба смотреть.

И что тогда значит что мы из одного базиса перешли в другой? Да пока ничего. Потому что мы пока ни в какой базис не «зашли» ещё.

Как это сделать?

С помощью базиса (ака набора точек) мы можем сопоставить каждой точке нашего абстрактного пространства M точку в одном конкретном нам знакомом от и до пространстве R^n.

Так что выбор базиса - это на самом деле выбор взаимнооднозначного отображения

A: M -> R^n

Выбирая второй базис, мы строим второе отображение

B: M -> R^n

Переход из одного базиса в другой - это отображение _координаты_ точки полученной в первом базисе в _координату_ этой же точки во втором.

То есть это не линейный оператор в M, это линейный оператор F из R^n в R^n:

        F   
   R^n --> R^n
    ^       ^
  A |       | B
           
    M   =   M
    

такой что

F(А(x)) = B(x)

Отсюда мы получаем матрицу. При том что в самом M никакого преобразования пространства не происходит, точки M никуда не движутся и не отображаются.

Обычно M отождествляют с R^n (через выбор одного из базисов), и операторы на пространстве координат считают операторами на самом исходном пространстве. Но это не совсем одно и то же.

Исходная версия alpha, :

Можно конечно всё чуть более запутать...

На самом деле переход из базиса в базис сам по себе - это не преобразование пространства.

Есть некое пространство M. Оно абстрактно и по сути является множеством точек, с двумя операциями на нём.

Что такое базис? Набор элементов(точек) этого пространства. Удовлетворяющих некоторым свойствам, но не суть. Взяли тут n точек, или вот n точек там чуть подальше в сторонке. Получили два базиса. Можем на них оба смотреть.

И что тогда значит что мы из одного базиса перешли в другой? Да пока ничего. Потому что мы пока ни в какой базис не «зашли» ещё.

Как это сделать?

С помощью базиса (ака набора точек) мы можем сопоставить каждой точке нашего абстрактного пространства M некоторую одну точку в одном конкретном нам знакомом от и до пространстве R^n.

Так что выбор базиса - это на самом деле выбор взаимнооднозначного отображения

A: M -> R^n

Выбирая второй базис, мы строим второе отображение

B: M -> R^n

Переход из одного базиса в другой - это отображение _координаты_ точки полученной в первом базисе в _координату_ этой же точки во втором.

То есть это не линейный оператор в M, это линейный оператор F из R^n в R^n:

        F   
   R^n --> R^n
    ^       ^
  A |       | B
           
    M   =   M
    

такой что

F(А(x)) = B(x)

Отсюда мы получаем матрицу. При том что в самом M никакого преобразования пространства не происходит, точки M никуда не движутся и не отображаются.

Обычно M отождествляют с R^n (через выбор одного из базисов), и операторы на пространстве координат считают операторами на самом исходном пространстве. Но это не совсем одно и то же.