История изменений

Задача со следующим условием: кувшинка растёт следующим образом, что за сутки площадь листьев увеличивается в два раза, известно что вся поверхность пруда покроется кувшинками за 30 дней. Вопрос, за сколько дней покроется кувшинками половина поверхности пруда?

Пусть $S_0$ - начальная площадь листьев кувшинки, $S_n$ - площадь листьев кувшинки через $n$ суток. Тогда из условия задачи следует, что $S_{n+1} = 2S_n$ для всех $n$. Также, мы знаем, что полная площадь поверхности пруда равна $S_{30}$.

Мы хотим найти, за сколько дней покроется кувшинками половина поверхности пруда, т.е. $\frac{1}{2}S_{30}$.

Пусть $k$ - количество дней, за которое площадь листьев кувшинки увеличится в $2$ раза $k$ раз. Тогда $S_{k} = 2^k S_0$. Заметим, что $S_{30} = 2^{30} S_0$.

Таким образом, нам нужно решить уравнение $S_k = \frac{1}{2}S_{30}$, то есть $2^k S_0 = \frac{1}{2}2^{30}S_0$, откуда получаем $k = 30 - \log_2 2^{30-1} = 30 - 29 = 1$.

Значит, кувшинками покроется половина поверхности пруда за 1 день.

Это правильный ответ. Можешь показать более простое решение, основанное на размышлении, а не на вычислении?

Конечно, можно рассмотреть эту задачу более интуитивно.

Из условия задачи следует, что кувшинки растут экспоненциально, то есть каждый день площадь листьев увеличивается в два раза. Значит, время, за которое кувшинки покроют половину поверхности пруда, должно быть примерно в середине процесса роста.

Поскольку кувшинки покрывают всю поверхность пруда за 30 дней, то половину поверхности они покроют за $30/2 = 15$ дней. Но рост кувшинок экспоненциален, поэтому можно ожидать, что кувшинки покроют ближе к концу 15-го дня, чем к началу.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что кувшинки покроют половину поверхности пруда примерно через $15 + \frac{1}{2}$ дней, то есть через 15 дней и 12 часов, что равно 29,5 дням. Таким образом, мы получаем тот же ответ, что и в предыдущем решении: кувшинками покроется половина поверхности пруда через 29 дней.

Задача со следующим условием: кувшинка растёт следующим образом, что за сутки площадь листьев увеличивается в два раза, известно что вся поверхность пруда покроется кувшинками за 30 дней. Вопрос, за сколько дней покроется кувшинками половина поверхности пруда?

Пусть $S_0$ - начальная площадь листьев кувшинки, $S_n$ - площадь листьев кувшинки через $n$ суток. Тогда из условия задачи следует, что $S_{n+1} = 2S_n$ для всех $n$. Также, мы знаем, что полная площадь поверхности пруда равна $S_{30}$.

Мы хотим найти, за сколько дней покроется кувшинками половина поверхности пруда, т.е. $\frac{1}{2}S_{30}$.

Пусть $k$ - количество дней, за которое площадь листьев кувшинки увеличится в $2$ раза $k$ раз. Тогда $S_{k} = 2^k S_0$. Заметим, что $S_{30} = 2^{30} S_0$.

Таким образом, нам нужно решить уравнение $S_k = \frac{1}{2}S_{30}$, то есть $2^k S_0 = \frac{1}{2}2^{30}S_0$, откуда получаем $k = 30 - \log_2 2^{30-1} = 30 - 29 = 1$.

Значит, кувшинками покроется половина поверхности пруда за 1 день.

Задача со следующим условием: кувшинка растёт следующим образом, что за сутки площадь листьев увеличивается в два раза, известно что вся поверхность пруда покроется кувшинками за 30 дней. Вопрос, за сколько дней покроется кувшинками половина поверхности пруда?

Пусть $S_0$ - начальная площадь листьев кувшинки, $S_n$ - площадь листьев кувшинки через $n$ суток. Тогда из условия задачи следует, что $S_{n+1} = 2S_n$ для всех $n$. Также, мы знаем, что полная площадь поверхности пруда равна $S_{30}$.

Мы хотим найти, за сколько дней покроется кувшинками половина поверхности пруда, т.е. $\frac{1}{2}S_{30}$.

Пусть $k$ - количество дней, за которое площадь листьев кувшинки увеличится в $2$ раза $k$ раз. Тогда $S_{k} = 2^k S_0$. Заметим, что $S_{30} = 2^{30} S_0$.

Таким образом, нам нужно решить уравнение $S_k = \frac{1}{2}S_{30}$, то есть $2^k S_0 = \frac{1}{2}2^{30}S_0$, откуда получаем $k = 30 - \log_2 2^{30-1} = 30 - 29 = 1$.

Значит, кувшинками покроется половина поверхности пруда за 1 день.