История изменений

Не доказано, что y_{ij}\in\mathbb{C}

Да, и это пока не нужно.

и следовательно многочлен q(Y) с коэффициентами в каком-то расширении \mathbb{C}

Читай чуть внимательнее:

Его коэффициенты — целочисленные симметрические многочлены от x_i, а потому выражаются как целочисленные многочлены от элементарных симметрических многочленов от x_i — то есть, как целочисленные многочлены от коэффициентов p. Значит, они лежат в \mathbb{R}.

Не доказано, что y_{ij}\in\mathbb{C}

Да, и это пока не нужно.

и следовательно многочлен q(Y) с коэффициентами в каком-то расширении \mathbb{C}

А вот тут — нужно. Читай чуть внимательнее:

Его коэффициенты — целочисленные симметрические многочлены от x_i, а потому выражаются как целочисленные многочлены от элементарных симметрических многочленов от x_i — то есть, как целочисленные многочлены от коэффициентов p. Значит, они лежат в \mathbb{R}.