История изменений

это говорит лишь об отсутствии замкнутых решений

Решений из S, да, так как кроме абстрактного S в том определении ничего нет. Расширения это другая тема.

частное должно принадлежать к тому же множеству, как и делимое с делителем

Да. Потому что операция относительно которой ищется решение (-- «деление») начиная с магмы замкнута относительно множества магмы. a * x = b — видим, что a, b и x принадлежат к одному множеству, так как в любой магме _*_ : M x M -> M, передать что-то из расширения M вне M именно этой _*_ нельзя, поэтому если x = solve(a, b) = b / a существует, то он из того же множества что и a с b.

1/2 разрешимо в рациональных

2/1 * x = 1/1, если быть точными, потому что рациональное это пара, просто 1 и 2 отнесённые к рациональным подразумевают знаменатель = 1 (как rat(integer x) : num(x), den(1) {} в C++).

противоречия

А где конкретно противоречия? Противоречия это доказать и опровергнуть что-то одновременно или доказать что в пустом множестве есть элемент, например. А на основе одной алгебраической структуры построить другую это просто безобидный экзерсис.

такое деление неразрешимо в принципе

∅ × A = ∅ для всех множеств A, так что нужно полагать, что правая часть не может быть отличной от ∅, поэтому {...} / ∅ не существует. Это если в принципе.

С другой стороны, возможный принцип для 1/0 это http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_sphere, колесо добавляет ещё и 0/0 (у которого _хоть какой-то_ смысл есть и так — это множество всех решений 0 * x = 0, оно не пусто).

это говорит лишь об отсутствии замкнутых решений

Решений из S, да, так как кроме абстрактного S в том определении ничего нет. Расширения это другая тема.

частное должно принадлежать к тому же множеству, как и делимое с делителем

Да. Потому что операция относительно которой ищется решение (-- «деление») начиная с магмы замкнута относительно множества магмы. a * x = b — видим, что a, b и x принадлежат к одному множеству, так как в любой магме _*_ : M x M -> M, передать что-то из расширения M вне M именно этой _*_ нельзя, поэтому если x = solve(a, b) = b / a существует, то он из того же множества что и a с b.

1/2 разрешимо в рациональных

2/1 * x = 1/1, если быть точными, потому что рациональное это пара, просто 1 и 2 отнесённые к рациональным подразумевают знаменатель = 1 (как rat(integer x) : num(x), den(1) {}).

противоречия

А где конкретно противоречия? Противоречия это доказать и опровергнуть что-то одновременно или доказать что в пустом множестве есть элемент, например. А на основе одной алгебраической структуры построить другую это просто безобидный экзерсис.

такое деление неразрешимо в принципе

∅ × A = ∅ для всех множеств A, так что нужно полагать, что правая часть не может быть отличной от ∅, поэтому {...} / ∅ не существует. Это если в принципе.

С другой стороны возможный принцип 1/0 это http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_sphere, колесо добавляет ещё и 0/0 (у 0/0 которого _хоть какой-то_ смысл есть и так — это множество всех решений 0 * x = 0).