История изменений
Исправление quasimoto, (текущая версия) :
пример такого биморфизма?
Если гомоморфизм одного моноида в другой суть биективное отображение их множеств (~ инъективное и сюръективное), то оно автоматически (iff) изоморфизм этих моноидов, так что обратное отображение тоже гомоморфизм.
jtootf, наверно, имел в виду, что в категории моноидов эпиморфизм (обобщение сюръективности) не есть сюръективный гомоморфизм, так что стрелка (гомоморфизм) может быть эпиморфизмом и мономорфизмом (обощение инъективности) и при этом не быть изоморфизмом (обобщение биективности, в категории множеств биективное <=> инъективное и сюръективное, тогда как в произвольной категории только изоморфизм => эпиморфизм и мономорфизм, но не обратно).
Более явный пример это категория частично упорядоченных множеств, там уже сам биективный гомоморфизм (в одну сторону) (монотонная функция) может не быть изоморфизмом, например {{1, 2, 3}, {1 < 3, 2 < 3}} в {{1, 2, 3}, {1 < 2, 2 < 3}} — обратная функция уже не монотонна (то есть «биективный гомоморфизм» нужно явно усиливать требованием монотонности обратной).
Исходная версия quasimoto, :
пример такого биморфизма?
Если гомоморфизм одного моноида в другой суть биективное отображение их множеств (~ инъективное и сюръективное), то оно автоматически (iff) изоморфизм этих моноидов, так что обратное отображение тоже гомоморфизм.
jtootf, наверно, имел в виду, что в категории моноидов эпиморфизм (обобщение сюръективности) не есть сюръективный гомоморфизм, так что стрелка (гомоморфизм) может быть эпиморфизмом и мономорфизмом (обощение инъективности) и при этом не быть изоморфизмом (в категории множеств инъективное и сюръективное <=> изоморфное, тогда как в произвольной категории только изоморфизм => эпиморфизм и мономорфизм, но не обратно).
Более явный пример это категория частично упорядоченных множеств, там уже сам биективный гомоморфизм (в одну сторону) (монотонная функция) может не быть изоморфизмом, например {{1, 2, 3}, {1 < 3, 2 < 3}} в {{1, 2, 3}, {1 < 2, 2 < 3}} — обратная функция уже не монотонна (то есть «биективный гомоморфизм» нужно явно усиливать требованием монотонности обратной).