Error MySQL: ERROR 2002 (HY000): Can't connect to local MySQL server through socket /var/run/mysqld/mysqld.sock (2)

А ты его запустил после установки?

Проверь и запусти mysql, если он не запущен.

Да, он запущен. Хотя… Я смог сменить пользователя на root, а через него потом уже открыл mysql. Наверное, проблема более не актуальна.

Хотя… Я не могу зайти в mysql, используя mysql -u root -p, будучи под другим пользователем (не root). Доступ запрещён, хотя я вводил верный пароль.

Users who want to set a password later can leave the password field blank in the dialogue box and just press Ok; in that case, root access to the server will be authenticated by Socket Peer-Credential Pluggable Authentication for connections using a Unix socket file. You can set the root password later using the program mysql_secure_installation.

https://dev.mysql.com/doc/mysql-apt-repo-quick-guide/en/#apt-repo-fresh-install

Пользователь root в системе и пользователь root в mysql - это разные пользователи.

Для mysql ты должен задать пароль для пользователя базы данных.

Погугли как это делается.