cURL, логирование запросов

на c накатай, c libcurl

tcpdump с опциями фильтрования по хосту и/или порту назначения, вывода хидеров и вербозностью

tshark, в отличие от tcpdump, умеет работать с протоколами прикладного уровня :-)
например

tshark -tad -R http -R '(http.request.method contains GET || http.request.method contains POST)' -T fields -E separator=/s -e frame.time -e ip.src -e http.request.method -e http.host -e http.request.uri -e http.cookie 'tcp dst port 80'

копай в стороне auditd

Немного уточню задачу, нужно видеть не только запросы, то и пользователя под которым они выполнялись. Т.к. столкнулся с проблемой исходящего скана.