В условиях необходимости экономить трафик, и чтобы избежать создания по отдельному подключению на каждый ящик на сервере (ограничение IDLE), нужно чтобы сервер поддерживал как минимум IMAP расширения BINARY, COMPRESS, NOTIFY. Вроде как dovecot такое умеет, даже больше. (Есть ещё какие-то интересные расширения для описанных целей? Что-то для поиска на стороне сервера точно нужно). И ещё нужен THREAD.
Но такие старые и заслуженные сервера как mail.ru и yandex.ru изобретают велосипед (зачем?) и поддерживают разве что IDLE и BINARY (только yandex, да и то иногда неработающий). Остаётся разве что поднимать у себя dovecot, синхронизировать почту в обе стороны и устанавливать связь уже со своим сервером. Или есть всё же европейские публичные сервера с необходимыми расширениями?
Ещё есть проблема с отправкой писем: одно и тоже сначала отправляется по SMTP, а потом копируется по IMAP в Sent. Как можно это побороть?