Что такое тензор?

Любой тензор - это отображение N векторов и M ковекторов (ну точнее N ковекторов и M векторов) в числа.

Это общее определение тензора произвольного ранга. Оно верно и для 0,1 и для 1,1 и для 2,0 и для 15,42.

Однако далее у нас есть развитие этой идеи.

Если достаточно долго смотреть на определение 1,1 тензора

T: (вектор u, функция f) -> число t = t(u, f)

t_u: функция f -> число t_u(f) = t(u, f)

Тогда можно посмотреть ещё чуть-чуть и понять что наш тензор T если его рассматривать как функцию только на векторах имеет вид

T: вектор u -> функция на линейных функциях t_u = t(u, .)

Но фишка в том что пространство линейных функций на линейных функциях канонически изоморфно исходному векторному пространству. Так что t_u - это одновременно и просто вектор.

Так что тензор типа 1,1 - если смотреть на него как на функцию двух переменных то он отображает пару (вектор, функция) в число. А если смотреть на него как на функцию только первого параметра, то он отображает вектор в «ко-ковектор», и слава богу что эти два ко аннигилируют и дают нам просто вектор в итоге.

В общем за это мы и любим алгебру: функции являются точками, точки являются функциями. Всё дело в выборе правильной точки зрения :)

Но фишка в том что пространство линейных функций на линейных функциях канонически изоморфно исходному векторному пространству.

В конечномерном случае.

В конечномерном случае.

Нет.

Это общее определение тензора произвольного ранга.

Где можно увидеть такое определение? Вообще, я знаком только с двумя. Первое - когда сначала определяется тензорное произведение, а потом говорится, что тензор ранга (n;m) - это тензорное произведение n векторных пространств на m сопряженных, а второе - через координатное представление и преобразование координат.

Так что тензор типа 1,1 - если смотреть на него как на функцию двух переменных то он отображает пару (вектор, функция) в число.

Окей, понял.

Просто увы, но из-за теорфиза мои мозги забиты свертками, поэтому я сразу не въехал, в чем дело.

Тензор как полилинейная функция

В том же ключе, тензор τ произвольного ранга (n,m) представляется полилинейным функционалом от m векторов и n ковекторов

Определение через элемент тензорного произведения множеств более конструктивное(координатное), оно нужно для работы и вычислений, но для «размахивания руками» трактовка тензора как полилинейного отображения гораздо удобнее и понятнее на мой вкус.

Где можно увидеть такое определение?

Съезди во Францию. Нищеброд что ли?

ru.wikipedia.org

Фу, ссылка на википедию. Какие же математики все-таки дикари.

Да

Первое - когда сначала определяется тензорное произведение, а потом говорится, что тензор ранга (n;m) - это тензорное произведение n векторных пространств на m сопряженных

Так когда вводят тензорное произведение пространств, то сперва обычно определяют понятие полилинейного отображения, а потом уже оказывается, что пространство таких отображений действительно является универсальным объектом в соответствующей категории.

но для «размахивания руками» трактовка тензора как полилинейного отображения гораздо удобнее и понятнее на мой вкус.

Координатное представление неудобно тем, что приходится доказывать корректность определения - что тензорные произведения существуют, не зависят от базиса, изоморфны друг другу.

В определении через пр-во полилинейных форм это очевидные факты, а координатное представления для формы получить уже не проблема.

Отлично, кажется, понял.

Спасибо большое.

Отлично, кажется, понял.
кажется
кажется
кажется