а задача наша состоит в том, чтобы угадать, что ты там понаписал в коде?

выкладывай свои потуги. минимальный пример, который «не работает»

ldd Qt5.11.2/5.11.2/gcc_64/plugins/sqldrivers/libqsqlite.so

спрашиваешь про QMYSQL а смотришь в libqsqlite

Показывает, что драйвер не загружен, но при этом сам же кьют его предлагает строкой ниже, что за прикол?

Прикол в том, что driver not loaded может означать (и в большинстве случаев означает) проблемы не с самим драйвером, а с одной из нужных ему динамических библиотек. Вот ты простыню для sqlite вывел, делай теперь такую же для MySQL и ищи, чего там не хватает.

спрашиваешь про QMYSQL а смотришь в libqsqlite

ldd Qt5.13.2/5.13.2/gcc_64/plugins/sqldrivers/libqsqlmysql.so

linux-vdso.so.1 (0x00007ffed47d8000)

libQt5Sql.so.5 => /home/pc/Qt5.13.2/5.13.2/gcc_64/plugins/sqldrivers/../../lib/libQt5Sql.so.5 (0x00007f9214e5d000)

libQt5Core.so.5 => /home/pc/Qt5.13.2/5.13.2/gcc_64/plugins/sqldrivers/../../lib/libQt5Core.so.5 (0x00007f92146ad000)

libpthread.so.0 => /lib/x86_64-linux-gnu/libpthread.so.0 (0x00007f9214674000)

libmysqlclient.so.18 => not found

libstdc++.so.6 => /lib/x86_64-linux-gnu/libstdc++.so.6 (0x00007f9214486000)

libm.so.6 => /lib/x86_64-linux-gnu/libm.so.6 (0x00007f9214337000)

libgcc_s.so.1 => /lib/x86_64-linux-gnu/libgcc_s.so.1 (0x00007f921431b000)

libc.so.6 => /lib/x86_64-linux-gnu/libc.so.6 (0x00007f921412a000)

libz.so.1 => /lib/x86_64-linux-gnu/libz.so.1 (0x00007f921410e000)

libicui18n.so.56 => /home/pc/Qt5.13.2/5.13.2/gcc_64/plugins/sqldrivers/../../lib/libicui18n.so.56 (0x00007f9213c75000)

libicuuc.so.56 => /home/pc/Qt5.13.2/5.13.2/gcc_64/plugins/sqldrivers/../../lib/libicuuc.so.56 (0x00007f92138bd000)

libicudata.so.56 => /home/pc/Qt5.13.2/5.13.2/gcc_64/plugins/sqldrivers/../../lib/libicudata.so.56 (0x00007f9211eda000)

libdl.so.2 => /lib/x86_64-linux-gnu/libdl.so.2 (0x00007f9211ed2000)

libgthread-2.0.so.0 => /lib/x86_64-linux-gnu/libgthread-2.0.so.0 (0x00007f9211ecd000)

libglib-2.0.so.0 => /lib/x86_64-linux-gnu/libglib-2.0.so.0 (0x00007f9211da5000)

/lib64/ld-linux-x86-64.so.2 (0x00007f92152ba000)

libpcre.so.3 => /lib/x86_64-linux-gnu/libpcre.so.3 (0x00007f9211d31000)

вот и ответ: libmysqlclient.so.18 => not found

libmysqlclient-dev - это заголовочные файлы в основном.

libmysqlclient (или как она там в ubuntu называется) - сама библиотека

Проблема скорее всего в том, что ты используешь Qt с сайта, который собирался с расчётом на RHEL/CentOS, а у тебя наверняка какая-то Ubuntu, в которой библиотеки давно уже новые и libmysqlclient.so.18 просто не существует. Он может быть libmysqlclient.so.19, или вообще чем-то вроде libmariadb.so.3

Решение проблемы – использовать тот Qt, что идёт в поставке твоего дистрибутива. Если нужна версия новее – подключать PPA. В противном случае тебе придётся этот libmysqlclient.so.18, ставить его всякими хаками и надеятся, что не будет конфликтов:

https://superuser.com/questions/1101426/installing-libmysqlclient18-on-ubuntu-16-04

Либо вообще собирать эту библиотеку ручками.

что за жесть, просто ссылку сделать и всех делов?

Это если в новой версии API не был сломан, иначе можно наткнуться на трудноуловимые сегфолты.

А почему у него оно лезет в системные, если собирает с недистрибутивным Qt 5.11?

А откуда в недистрибутивном Qt 5.11 будет libmysqlclient к которому прилинкован драйвер?