Что такое extended partition? И как мне вернуть место?

Extended раздел - это раздел для других разделов, так как из-за ограничений mbr может быть только 4 primary partitions.

Что показывает df -h

mount | grep /home
df -h /home
parted -l

Что говорит?

Extended Это виртуальный костыль для обхода ограничения в четыре раздела досовой разметки. Те на самом деле у тебя:

/dev/sda1  *        2048  28186623  28184576 13.5G 83 Linux
/dev/sda5       28188672 234440703 206252032 98.4G 83 Linux

user@debian:~$ mount | grep /home
/dev/sda5 on /home type ext4 (rw,relatime,data=ordered)
user@debian:~$ df -h /home
Filesystem      Size  Used Avail Use% Mounted on
/dev/sda5        97G  2.5G   90G   3% /home
user@debian:~$ sudo parted -l
Model: ATA KINGSTON SHFS37A (scsi)
Disk /dev/sda: 120GB
Sector size (logical/physical): 512B/512B
Partition Table: msdos
Disk Flags: 

Number  Start   End     Size    Type      File system  Flags
 1      1049kB  14.4GB  14.4GB  primary   ext4         boot
 2      14.4GB  120GB   106GB   extended
 5      14.4GB  120GB   106GB   logical   ext4

Вот что говорит.

У меня файловый менеджер сказал что у меня 10 гигов моих кончается. Это он проглючил получается?

Filesystem Size Used Avail Use% Mounted on
/dev/sda5 97G 2.5G 90G 3% /home

Порядок, хомяк на 97 гигов.

/home всего 10 гигов

Вы это в каком месте прочитали?

Ну так и монтируй sda5 в /home. 7 лет на лоре, а такие вопросы.

У меня файловый менеджер сказал что у меня 10 гигов моих кончается. Это он проглючил получается?

Судя по всему, что это не про хомяк, а про корень.
Очищайте логи, кэши и т.п.

/home всего 10 гигов

откуда такой вывод?
fdisk говорит про 97 ГиБ, parted говорит про 106 ГБ (десятичных). Какие основания им не доверять?

Очищайте логи, кэши и т.п.

Впрочем, может и не помочь.
На современных системах под корень стоит отводить 15-20 гигов.
Так что лучше хомяк сжать, а корень растянуть.
LiveCD/USB + GParted в помощь.

user@debian:~$ df -h /
Filesystem      Size  Used Avail Use% Mounted on
/dev/sda1        14G  6.2G  6.3G  50% /

Точно помню что Files в Gnome сказал про /home. Точно это он проглючил.

Так что лучше хомяк сжать, а корень растянуть.

Нахрена их вообще разносить на отдельные разделы, если диск один? Б-ги погромирования дали вам Btrfs с субтомами и мощными квотами, а также проектные квоты в ext4 и XFS для ретроградов. Но нет, мы будем дальше пердолить таблицу msdos из восьмидесятых, а в случае чего перезагружаться и тягать разделы через кривой parted! :)

Спорно.

Можно например вынести отдельно /var и тогда 10Гб должно хватить

Да как угодно, лишь бы работало, а там уж ТС сам разберётся.

Но нет, мы будем дальше пердолить таблицу msdos из восьмидесятых, а в случае чего перезагружаться и тягать разделы через кривой parted! :)

так учатся планировать . Позже будет разбивка с запасом + свободные разделы (для теста , подмонтировать и тд)

Нахрена их вообще разносить на отдельные разделы, если диск один?

Узнаешь, когда будешь переустанавливать систему.

квоты

Тут вообще ни при чём.

А у тебя /dev/sda5 вообще в /home монтируется? Что в /etc/fstab написано?

Нафига психически здоровому человеку btrfs? LVM же специально для этого был сделан.

LiveCD/USB + GParted в помощь

Зачем, когда есть lvm2? Даже перезагружаться не надо, только выключить графическую оболочку и отмонтировать хомяк на время уменьшения фс, дальнейшая миграция проводится наживую в свободное от остальных дел время.

Это он проглючил получается?

Нет, ты.