Как определить, что система находится в режиме сна или энергосбережения?

Почему из cron не выполняются команды выключения дисплея, перехода в режим сна или ожидания

Потому что крон не знает, с каким дисплеем работать. Попробуй:

DISPLAY=:0.0 /usr/bin/xset dmps force off

По первому вопросу не подскажу, но первое, что попадается в гугле — утилита tvservice, попробуй поковырять её.

Если приложение исполняется, значит система еще или уже не спит.

Спасибо, получилось!
Точнее будет:

 DISPLAY=:0.0 /usr/bin/xset dpms force off

Если приложение исполняется, значит система еще или уже не спит.

Извините, не понял. Можно подробнее.

Тебе намекают, что если система спит, то никакие программы уже не работают. А вот чтобы отловить переход/выход в сон, можешь использовать systemd'шные target'ы.

Например, как-то так будет выглядеть сервис, выполняющийся перед переходом в сон:

[Unit]
Description=On suspend action
Before=sleep.target

[Service]
User=username
Type=normal
Environment=DISPLAY=:0
ExecStart=/path/to/your/script.sh

[Install]
WantedBy=sleep.target

Возможно придётся добавить что-нибудь вроде ExecStartPost=/usr/bin/sleep 1, если скрипт не будет успевать выполняться до перехода в сон.

Соответственно, для отслеживания выхода из сна, нужно заменить Before на After.

режим энергосбережения

Тут уже сложнее. Если речь идёт об отключении экрана, то первое, что приходит в голову — в скрипте периодически проверять вывод xset q. Например так:

while true
do
if xset q | grep -q "Monitor is On"
    then
        echo "On"
    else
        echo "Off"
    endif

    sleep 1
done

При необходимости можно запоминать состояние и обрабатывать только его изменение.

Извините, не понял. Можно подробнее.

Если система уснула s2ram / s2disk, то процессор ничего не выполняет.

По первому вопросу не подскажу, но первое, что попадается в гугле — утилита tvservice, попробуй поковырять её.

tvservice здесь не подойдет: в моем случае подсветка не управляется по HDMI. Это отдельная цепь на плате дисплея, не интегрированная в общую схему. Но благодаря Вам решение найдено:
1. Отключить в RPi скринсейвер и переходы в режимы сна и энергосбережения.
2. По cron запускается команда отключения дисплея, см. выше.
3. Одновременно по cron запускается скрипт, который выдает сигнал выключения на один из выводов порта RPi. Этот вывод я подсоединю к схеме подсветки дисплея.
Получилось немного коряво, т.к. выключение не будет зависеть от времени неактивности пользователя, как было-бы при работе скринсейвера.

Осталось решить, как включить подсветку. Т.е., как программно отследить событие мыши/клавиатуры? Но думаю это решаемо.

Все решено!
Командой xset -q мониторить состояние «Monitor is On(Off)»
Про «режимы сна и энергосбережения» - каюсь, это я неверно сформулировал вопрос. Основная задача: отключать подсветку, когда выключен монитор. Всем спасибо!