IntelliJ IDEA и работа с GitHub

Понятия не имею, что там в этой идее, но token — API, key — SSH. Либо у них где-то ещё есть настройка, либо что-то в `~/.ssh` не то (ещё если репозиторий чужой, то читать нужно по https).

Git не умеет OAuth Token. Git умеет в основном ssh и https (и используемый протокол определяется отнюдь не средой разработки, а настройками remotes в локальном репозитории).

А OAuth Token нужен для интеграции с другими сервисами GitHub (напр., issue tracker'ом).

Ровно та же самая ситуация и в TeamCity.

Ну так токены не для того нужны. Работа с репозиторием идёт через SSH, так что генерируешь ключ, показываешь гитхабу публичный.

Ровно та же самая ситуация и в TeamCity.

Да и в GitLab то же самое.

Откуда взялся локальный клон репозитория?