cut заменить sed

типа sed -nEe 's,^(/[^/]+){3}/([^/]+/[^/]+).*$,\2,p'

awk

Почему именно sed? С awk удобнее:

awk -F/ 'OFS="/" {print $(NF-1), $NF}'

А это не работает, потому что

не зависимо от вложенности папок

echo "/mnt/backup/20191213-15h21/vg_main/lv_var" | sed 's|.*/\(.*/.*\)|\1|'

Тебе нужны 2 последние компоненты пути ?

Я не ТС. Судя по его описанию это ему и надо.

Если путь надо обрезать один раз, то можно это сделать так:

$ P="/mnt/backup/20191213-15h21/vg_main/lv_var"
$ echo "$(basename "$(dirname "$P")")/$(basename "$P")"
vg_main/lv_var

или так

$ [[ $P =~ [^/]+/[^/]+$ ]]
$ echo "${BASH_REMATCH[0]}"
vg_main/lv_var

ну а если путей много, то лучше sed или awk

спасибо!