При включённом docker блокируется доступ к многим IP

Где вывод ip a, ip r?

у меня были сложные правила iptables и докер их рушил, врятли у тебя такая проблема (тогда ты бы знал что и где), но на всякий случай покажи какие правила с запущенным докером и с остановленным

sudo iptables -L INPUT

Возможно ты накосячил с диапазоном адресов в docker network (диапазон адресов докера должен быть из private networks)

И ещё сети для самых маленьких ему нужно почитать, что такое маршрутизация, что значит коннектед сеть.

После systemctl stop docker всё оживает.

Так вот оно решение проблемы, что ещё то нужно.

На всякий случай ещё снеси его (apt-get purge или какая там команда в твоём дистре).