xabber + orbot

Только в этом приложении? Вообще возможно настроить чтоб у тебя сеть падала при отключении экрана и подобное, посмотри на всякие параметры энергосбережения. И, да, не все приложения могут нормально работать во всяких «нестандартных» режимах, для примера можно посмотреть на шедевральный skype

да, только в нем. Включаю экран - снова есть связь

ну разбираюсь пока. тут же надо вдвоем с собеседником проверять, что-то недоходит