Математика: как померить линейность функции заданной на кольце

а f(x,y)=xy по твоему не линейная?

> а f(x,y)=xy по твоему не линейная?

Нет конечно -- это функция второго порядка.

Вдруг стало интересно...

А в чем измеряется линейность? В градусах, да?

В процентах. В графусах измеряется функция линейность которой оцениваем.

s/графусах/градусах/

:-) И как такие ошибки делаются? "ф" и "д" находятся на противоположных концах клавиатуры :-)

Ну градусы, проценты... Объемные? От массы зависит и предварительной тренировки...

Примерно так: поллитра сорокоградусной на 50 кило живого веса за 2 часа при предварительной тренировке в течение 10 лет...

Вдогонку:

Да, это только если кольцо коммутативное. Если нет, то все зависит от максимального идеала. В идеале должно присутствовать пиво, особенно на утро...

Вы это.. перебрали :-)

> Да, это только если кольцо коммутативное. Если нет, то все зависит от максимального идеала. В идеале должно присутствовать пиво, особенно на утро...

Так уж случилось, что я вас обоих заочно знаю. unDEFER - это молодой талантливый студент, который в свободное время пишет OCR программу. Мозги у него есть. Опыта пока нет. Через какое-то время ученый из него получится. Die-Hard - это такой умный дядька примерно о 40ка лет, по-моему математик.

Обращение к Die-Hard: Ну понятно, что студент плохо вопрос задал. Я тоже не понял, что он спросил. Но нутром чую, что ему надо что-то простое. Ты это... Наведи его на путь истинный.

Beria.

Как вы всё хорошо расписали.. Удивительная наблюдательность и память..
Я, вот хоть и постоянно форум почитываю, но подобной информации не про кого (за исключением тех кого знаю лично) не выдам.

Вопрос кстати напрямую связан с OCR. Увлёкся я спектральным анализом изображения. Хорошая вещь однако :-)

При Фурье-преобразовании мы получаем амплитуду не зависящую от сдвига и фазу. При сдвиге изоюражения его спектральная амплитуда не меняется, а вот к фазе как раз прибавляется линейная функция dx*wx + dy*wy, где wx, wy -- омеги т.е. частоты, а dx, dy -- собственно говоря сдвиг.

Собственно для этого мне и нужно померить линейность разностей двух спектральных фаз, чтоб знать насколько оно соответствует форме dx*wx + dy*wy.

Правда я это делаю не для первого преобразования -- с ним пока не так интересно, так как фаза ещё и зависит от масштаба и поворота.
Чтобы избавиться ещё и от масштаба и поворота -- я беру спектральную амплитуду первого преобразования, перевожу её в полярную систему координат, причём с логорифмической шкале по шкале r (фактически это частота, тогда как phi -- будет характеризовать направление). Тогда на новом изображении сдвиг по оси log r будет означать масштаб, а сдвиг по оси phi -- поворот.

Делая второе преобразование Фурье над таким изображением получаем снова амплитуду и фазу. Причём линейная прибавка к фазе как раз характеризует поворот и масштаб.

В общем оно работает и правильно распознаёт и масштаб и поворот..
А для подсчёта корреляции я сейчас пытаюсь функцию phi(x,y) "распрямить", т.е. там где виден явный разрыв (переход от pi к -pi и наоборот) -- соответсвенно прибавляю к -pi 2*pi, чтобы шкала была уже не кольцом..
Но это бы хорошо ещё работало для одномерной функции, а для двухмерной получается какой-то бред..

Ну... Я к сожалению не математик. Некоторых вещей не знаю.

Например я не знаю, как сделать фурье преобразование для двумерной функции (Мы проходили только одномерные.) Можешь мне про это рассказать (через свой сайт и ссылку в письме).

Ну, мне кажется, что можно функция phi не распрямлять. Тебя смущает что при переходе от -пи к +пи получается разрыв. А его (по жизни и по физическому смыслу) быть не должно. Значит надо поколдовать над функцией phi чтобы она в -пи и +пи имела одно и то же значение.

К стати - это при сдвиге у тебя будет линейный сдвиг фаз (чем выше частота, тем больше фаза сдвига). А при повороте фазы будут одинаковые. ИМХО.

А вообще - надо думать над тем как получить инвариантные характеристики - независящие от сдвига и поворота. Ну типа как амплитуды - они же не меняются. Например ты можешь работать не с фазами, а с разностями фаз. Или даже разностями периодов (понятно, что такое в твоем случае "фаза" и "период"?). И определять "похоже на эталон" или нет.

Beria.

> Например я не знаю, как сделать фурье преобразование для двумерной функции (Мы проходили только одномерные.) Можешь мне про это рассказать (через свой сайт и ссылку в письме).

На сайте я всё обязательно распишу, но лишь тогда, когда всё же будет что-то более интересное, чем определение поворота, масштаба и сдвига.
А пока лишь могу дать ссылку на wikipedia:
http://ru.wikipedia.org/wiki/Преобразование_Радона (там есть формула двумерного преобразования --отличий там мало от одномерного)

> Тебя смущает что при переходе от -пи к +пи получается разрыв. А его (по жизни и по физическому смыслу) быть не должно. Значит надо поколдовать над функцией phi чтобы она в -пи и +пи имела одно и то же значение.

Меня гораздо больше смущает что в кольце нормальна ситуация: 2*2 = 2*(2-pi), тогда как 2*(2-pi)/2=(2-pi)!=2*2. От этого теряется вся очевидная линейность любой функции.

> К стати - это при сдвиге у тебя будет линейный сдвиг фаз (чем выше частота, тем больше фаза сдвига). А при повороте фазы будут одинаковые. ИМХО.

Не совсем -- при повороте и масштабировании, амплитуда и фаза спектра тоже соответственно поворачиваются и масштабируются.

Но я уже сказал, что тогда я произвожу преобразование в полярную систему координат с логорифмической шкалой r и делаю второе преобразование фурье над амплитудой спектра. И новая амплитуда не зависит ни от масштаба, ни от поворота, ни от сдвига ( ни вообще от изображения :-)) )..

> 2*2 = 2*(2-pi), тогда как 2*(2-pi)/2=(2-pi)!=2*2.

Здесь ошибся. Надо:
2*2 = 2*(2-pi), тогда как 2*(2-pi)/2=(2-pi)!=2.

>Нет конечно -- это функция второго порядка.

И что? Линейность функции одного аргумента: f(k*x)=k*f(x)

С чего вдруг с функции двух аргументов требуется что-то другое?

Чую я, что придётся тебе делать двумерный корелляционный анализ. В линейном случае не должно быть ничего сложного.

z = a * x + b * y

Коэффициент корелляции z и x (или y) должен быть равен +1, а к-т к-ции x и y = 0, если мне мой склероз не изменяет.

P.S. Моку выслать книжку по мат. статистике, если нужно.

Вы меня не так поняли -- я имею ввиду линейность которая описана в:
http://ru.wikipedia.org/wiki/Линейная_функция

ДО пункта "Абстрактная алгебра".

Блин, и где только такие определения находят?

> Коэффициент корелляции z и x (или y) должен быть равен +1

Это всё понятно. Непонятно как вычислить эту корреляцию в случае функции на кольце.
Проблема в том, что если взять функцию f(x)=x/2 и рассмотреть её в кольце [-1, 1] на промежутке [-1,1], то при попытке высчитать корреляцию её с функцией f(x)=x, её корреляция окажется ещё единицей, но вот если также попытаться высчитать корреляцию функции f(x)=2*x (которая на кольце [-1, 1] в промежутке [-1,1] "разобьётся" на три парралельных прямых), то корреляции уже не будет.

А что вам не нравится? Неужели что-то незнакомое?

Да нет, просто не понятно, зачем столько вещей называть одним словом.

Фантазии, наверное, не хватает.
Скорее всего эти понятия не путаются, так как то что имели ввиду скорее более корректно называется "функция обладающая свойством линейности".

>А что вам не нравится?

Со статистикой не знаком, фурье будет в самом ближайшем будующем, но на глаз

То что вы называете кольцом уж точно не кольцо,а U(1), или окружность. Дифференциальные формы там есть, но вот линейных функций вродебы нет.

> То что вы называете кольцом уж точно не кольцо,а U(1), или окружность.
Хм.. я уверен, что то что я называю кольцом подходит под определение:
http://ru.wikipedia.org/wiki/Кольцо_(алгебра)

К сожалению, я не знаю что вы понимаете под "окружностью".

> Дифференциальные формы там есть, но вот линейных функций вродебы нет.
Там есть что-то во что там вырождаются линейные функции...
Линейные функции там превращаются в периодические..

>Хм.. я уверен, что то что я называю кольцом подходит под определение:

Лень ходить по ссылке, но кольцо - модуль c введенной операцией произведения, дистрибутивной относительно сложения.

Z/nZ, матрицы с операциями композия, полиномы с коэфициентами в кольце - кольца, но вот R/Z - только фактор группа (нетривиальных идеалов в поле точно нет). R есть топология, после факторизации получится такая же топология как на окружности. Ну и на окружности есть структура многообразия, которая отождествляется (дифференциальные формы этой оперы). Ну и посовместительству окружность - это еще и унитарная група матриц первого порядка U(1) изоморфная R/Z

На сколько я знаю преобразование фурье - преобразовывает функцию G->C в G^->C. Где G^ - двойственная группа.

Картинка - функция из (R/Z)^2->C, которая после преобразования будет функцией Z^2->C. Ну и преобразование фурье вроде бы хорошо себя ведет с операцией сдвига в группе. На сколько я понял - циклический сдвиг объекта (то есть например уходя за правый край, он появляется с левого) после преобразования превратится в добавлении линейной функции Z^2->С (а вот здесь уже понятие линейности имеет смысл)

> На сколько я понял - циклический сдвиг объекта (то есть например уходя за правый край, он появляется с левого) после преобразования превратится в добавлении линейной функции Z^2->С (а вот здесь уже понятие линейности имеет смысл)

Именно так.. так как посчитать корреляцию?...
В области вещественных чисел для дискретной функции:
математическое ожидание -- это среднее арифметическое всех её значений.
а корреляция (точнее ковариация) двух функций -- мат.ожидание произведений их отклонений (от мат.ожидания), т.е. мат.ожидание функции (f(n)-Mf)*(g(n)-Mg), где -- f(n), g(n) -- дискретные функции, Mf, Mg -- их мат ожидания.

В нашем конкретном случае g(n)=n, Mg=0. Также Mf=0 (т.к. фаза спектра -- нечётная функция).

Вообще, для формирования инвариантных признаков обычно используется преобразование Фурье-Меллина: http://students.ee.sun.ac.za/~riaanvdd/image_processing_tools.htm

Гы-гы, я кажется именно это и делаю :-)

Но вообще использовать это преобразование напрямую довольно сложно: во-первых потому, что там восле второго преобразования амплитуды вообще мало чем отличаются для любого изображения, а во вторых точно вычислить это весьма проблематично...

Хотя если б была библиотечка для быстрого и точного преобразования Меллина, как для Фурье FFTW, то несомненно было бы лучше.

2unDEFER:

Извиняюсь за стеб, но как-то странно ожидать тут ответ на подобный вопрос... Вы бы хотя бы (необщеизвестного) жаргона избежали, подобные вопросы задаваючи.

Ей-богу, вне (не упомянутого Вами) Фурье-анализа Ваш вопрос звучит весьма странно. Да и вообще, я понял, что за мера "линейности" Вами используется, только когда прочитал про матожидание отклонений... Какой-то диковатый жаргон ИМХО!

Например:

> В области вещественных чисел для дискретной функции: математическое ожидание -- это среднее арифметическое всех её значений.

Ну, вот, где Вы такое вычитали? При определенных условиях сказанная Вами фраза имеет смысл. Но вот так буквально -- глупость сказана...

Может быть имеет смысл найти наименьшее [-k, k], на которой никакая функция не терпит разрыв. И в этом интервале померить линейость?

>во-первых потому, что там восле второго преобразования амплитуды >вообще мало чем отличаются для любого изображения

Так в этом и смысл.

Предлагаю, чтобы не пугать народ слово "кольцо" убрать. У тебя есть интервал параметра "фи" [-пи +пи] который ты интерпретируешь как поворот изображения. В зависимости от этого "фи" у тебя что-то происходит с переменными (значениями), которые ты интерпретируешь как фазу (на самом деле тебе не важно как это интерпретировать). Тебе нужно подобрать "оптимальный" параметр фи. (Подобрать оптимальный угол поворота). А потом посмотреть насколько фактические значения при оптимальном фи отползли от идеальных.

-------------------------------------------------

Но я бы сделал не так. Я бы просто вертел исходное изображение с шагом (например) 10 градусов. Получил бы 18 вариантов исходного изображения. Потом все эти варианты сравнивал бы с эталонами. Да, при этом я получил бы программу, которая работала бы в 18 раз медленнее. Но зато смог бы посмотреть работает ли вообще этот метод (и все остальные части программы). Есть старая истина - сначала заставьте программу работать, потом оптимизируйте...

К стати, в "нормальном" тексте тебе не понадобится вертеть на все углы. Типично надо будет попробовать нулевой угол, и поворот на один-два шага вправо-влево.

Beria.

>Непонятно как вычислить эту корреляцию в случае функции на кольце.

С кольцом ясно. А вычислять просто - функция же периодическая. Считайте так же как, на пример, считали бы для синуса. Просто забудьте, что phi это поворот.

>При Фурье-преобразовании мы получаем амплитуду не зависящую от сдвига и фазу. При сдвиге изоюражения его спектральная амплитуда не меняется, а вот к фазе как раз прибавляется линейная функция dx*wx + dy*wy, где wx, wy -- омеги т.е. частоты, а dx, dy -- собственно говоря сдвиг.

>Собственно для этого мне и нужно померить линейность разностей двух спектральных фаз, чтоб знать насколько оно соответствует форме dx*wx + dy*wy.

>Правда я это делаю не для первого преобразования -- с ним пока не так интересно

Это, как раз, самое интересное :)

У эталонного и тестового изображения _не_совпадают_масштабы_и_ориентации , поэтому разность фаз между ними не будет линейной (кусочно-линейной). Можно было бы согласовать масштаб и ориентацию, воспользовавшись результатом 2-го преобразования, _но_ авторы этого метода не учли, что амплитудный спектр не согласуется со структурой изображения. Поясню. Есть старый фокус, который заключается в том, что если взять два изображения А и Б, разложить каждое на спектры Фурье, заменить фазовый спектр изображения Б на фазовый спектр изображения А и выплнить обратное преобразование, то изображение Б будет распознаваться как изображение А. Т.е. структура изображения зависит от ее фазового спектра. А амплитудные спектры могут сильно отличаться у двух похожих изображений.

>А амплитудные спектры могут сильно отличаться у двух похожих изображений.

Даже если у них совпадают и масштаб и ориентация.

> Ну, вот, где Вы такое вычитали? При определенных условиях сказанная Вами фраза имеет смысл. Но вот так буквально -- глупость сказана...

Я понимаю, что грубо, зато коротко. Насчёт "определенных условий" -- а что я ещё упустил? Или лучше написать: "Возьмём эргодический стационарный дискретный процесс (т.е. последовательность), и его реализацию f(n). Тогда мат.ожиданием этого случайного процесса будет среднее арифметическое всех значений f(n)"?
Надо, конечно, учиться выражать свои мысли правильно, чтоб все понимали...

> Так в этом и смысл.
Да, нет, смысла в этом не так много. Проблема в том, что полученные признаки не зависят не просто от сдвига, а не зависят от сдвига вообще любых гармоник независимым образом.
Если произвести преобразование Фурье и изменяя только фазу производить обратное преобразование, то вновь полученные изображения будут отличаться от первого отнюдь не только сдвигом.
Что можно получить изменяя также независимо и фазу после второго преобразования вообще страшно представить...

> У тебя есть интервал параметра "фи" [-пи +пи] который ты интерпретируешь как поворот изображения.

Не совсем так. Есть (возможно) линейная функция phi(x,y) = a*x+b*y. a -- я интерпретирую как поворот, а b -- как масштаб.

> К стати, в "нормальном" тексте тебе не понадобится вертеть на все углы. Типично надо будет попробовать нулевой угол, и поворот на один-два шага вправо-влево.

Поворот там вообще как бы "за одно" определяется -- важно, что также определяется и масштаб.

Сейчас я кстати сделал, чтобы он брал два изображения, высчитывал поворот, масштаб и сдвиг второго изображения относительно первого и поворачивал, масштабировал, сдвигал второе изображение обратно.
После этого два уже изображения сравниваются.

Получается довольно здорово :-)
Я пытался сравнивать букву "А" с несколькими искривлёнными (от руки) буквами "А" и с буквами "Б", "Г".
И получается, что даже сильно искривлённая буква "А" совпадает после "выправки" масштаба сдвига и поворота с исходной на 30%, буква "Б" -- на 15%, а "Г" -- <1%.

Беспокоит ещё возможная толщина буквы. Хотелось произвести такое преобразование при котором изменение толщины букв в исходных изображениях не отражалось бы на корреляции преобразованных изображений.

Для этого подошло бы преобразование при котором скажем функция:

S_a(t) = 1 при |t|<a и S_a(t) = 0 при |t|>a
(т.е. это как бы некоторая линия шириной 2*a)

преобразовывалась в F_a(t) = exp(1-(x/a)^2) / a.
Мм.. кажется так..

> Может быть имеет смысл найти наименьшее [-k, k], на которой никакая функция не терпит разрыв. И в этом интервале померить линейость?

Может быть, но боюсь точность в этом случае слишком страдает..

> С кольцом ясно. А вычислять просто - функция же периодическая. Считайте так же как, на пример, считали бы для синуса. Просто забудьте, что phi это поворот.

И они окажутся некоррелированными, даже если должны..

> заменить фазовый спектр изображения Б на фазовый спектр изображения А и выплнить обратное преобразование, то изображение Б

Позвольте -- будет ли после этого это хоть сколько нибудь похоже на Б? :-)

> Т.е. структура изображения зависит от ее фазового спектра. А амплитудные спектры могут сильно отличаться у двух похожих изображений.

Именно поэтому я выполняю эти преобразования лишь чтобы узнать поворот, масштаб сдвиг, тогда как реальное сравнение произвожу на начальных изображениях.

>И они окажутся некоррелированными, даже если должны.

Хм. Тут у меня возникло подозрение, что вы не строите функцию взаимной корреляции... и поэтому пытаетесь определить степень линейности разности фаз? Тут могут возникнуть неприятности из-за шумов. Разность фаз к ним очень чуствительна. Все же максимум взаимной корреляции надежнее.

>Позвольте -- будет ли после этого это хоть сколько нибудь похоже на Б? :-)

http://webfile.ru/992696

А еще можно амплитудный спектр заменить случайными значениями :)

> Хм. Тут у меня возникло подозрение, что вы не строите функцию взаимной корреляции... и поэтому пытаетесь определить степень линейности разности фаз?

Ну, да, я нахожу корреляцию разности фаз с функцией ax+by.

> Тут могут возникнуть неприятности из-за шумов. Разность фаз к ним очень чуствительна. Все же максимум взаимной корреляции надежнее.

Ммм.. Максимум взаимной корреляции это как? Для двух функций (если конечно не пытаться вводить зависимость от сдвига) корреляция -- это же одно число...
Кстати о чувствительности разности фаз к шумам -- а на низких частотах?

> http://webfile.ru/992696
Чёрт, действительно ведь похоже!

> А еще можно амплитудный спектр заменить случайными значениями :)
Не, я так пока не извращался -- я только нулём пробовал заменять :-)

Кстати, когда я говорю: "Изображение А", я имею ввиду именно "изображение буквы А", а не "изображение которое мы обозначим А" :-)

>Ммм.. Максимум взаимной корреляции это как? Для двух функций (если конечно не пытаться вводить зависимость от сдвига) корреляция -- это же одно число...

Я имел ввиду максимум функции взаимной корреляции. Т.е. функция значения коэффициента корреляции. Аргумент этой функции - значение сдвига между двумя функциями.

>Кстати о чувствительности разности фаз к шумам -- а на низких частотах?

Строго говоря, дело не в значениях частот а в значении отношения сигнал/шум на частоте. В большинстве случев значения амплитудного спектра увеличиваются к низким частотам и растет сигнал/шум.

Тут главная проблема в том, что при расчетах _разности_ фаз в идеальных условиях вы получаете не линейную функцию, а кусочо-линейную. Но если накладывается даже небольшой шум, то из-за кусочности функции вблизи "идеального" разрыва появляются новые разрывы.

Вообще-то, не забивайте себе голову фазой. С функций взаимной корреляции проще. К томуже, вы можете ее построить, используя БПФ.

>Кстати, когда я говорю: "Изображение А", я имею ввиду именно "изображение буквы А", а не "изображение которое мы обозначим А" :-)

И буквы будут похожи.

> Вообще-то, не забивайте себе голову фазой. С функций взаимной корреляции проще. К томуже, вы можете ее построить, используя БПФ.

Чего-то я снова не понимаю.
Берём мы функцию взаимной корреляции:
R(dx, dy) = 1/(XY) \sum_x \sum_y f(x, y) g(x+dx, y+dy)

Узнав её максимум -- мы получим dx и dy при котором фазы наиболее коррелируют. Нам же надо найти a и b в выражении: f(x, y) - g(x,y) = ax + by.
Как же будут связаны найденные dx и dy с a и b? Если вообще будут как-нибудь связаны..
Вообще-то для функций с линейной разницей вида ax+by взаимная корреляция будет максимальной при dx=dy=0.
В чём я ошибаюсь?
Что вообще будут характеризовать найденные dx, dy?

> И буквы будут похожи.

Да, я верю -- я же теперь даже понимаю почему :-)

> Вообще-то для функций с линейной разницей вида ax+by взаимная корреляция
> будет максимальной при dx=dy=0.
> В чём я ошибаюсь?

Да, здесь я таки ошибся. Попробую исправиться. Для функций f(x,y) и g(x,y) = f(x,y)+ax+by

R_{fg}(dx,dy) = R_{ff}(dx,dy) + R_{f(ax+by)}(dx,dy)

Автокорреляция при этом будет полюбому максимальна при dx=dy=0,
а вот где будет максимум у корреляции функции f с ax+by=g-f трудно сказать..

2unDEFER:

> Я понимаю, что грубо, зато коротко.

Да не в том беда, что "грубо", а в том, что двух (-трех -четырех...) смысленно!

Ок, берем формально:

"В области вещественных чисел для дискретной функции: математическое ожидание -- это среднее арифметическое всех её значений."

Оставляя в стороне то, что матожидание определяется для случайной величины, а вовсе не для абстрактной "дискретной функции в области вещественных чисел", рассмотрим такой пример:

Фабрика выпускает карандаши длиной 10, 20 и 30 сантиметра. Причем, 99% карандашей, выпущенных фабрикой, имеют длину 10 см, и по 0.5% процента -- остальные.

Каково матожидание длины взятого наугад карандаша?

По Вашему определению, надо взять среднее арифметическое от всех значений. Всего значений 3: 10 см, 20 см и 30 см. Среднее арифметическое = (10+20+30) см /3=20 см. Глупость?

Я, конечно, извиняюсь, но словосочетание "отклонение от линейности заданной на кольце функции" на мой взгляд из той же серии. Единственное отличие -- термин "матожидание", в отличие от термина "отклонение от линейности", все же, общепринятый и однозначный.

> Возьмём эргодический стационарный дискретный процесс (т.е. последовательность), и его реализацию f(n). Тогда мат.ожиданием этого случайного процесса будет среднее арифметическое всех значений f(n)"?

Ну, опять совершенно мимо!

1. Опять же, матожидание определяется для случайной величины, определенной на вероятностном пространстве. Что Вы имеете в виду под термином "мат.ожидание дискретного процесса"? Можно только догадываться...

Ок, догадались. Видимо, имелся в виду случайный процесс...

2. Что такое "все значения f(n)"? (см. пример выше).

Ок, догадались...

3.Как можно вычислить среднее арифметическое бесконечного числа слагаемых?

Ок, видимо, имелся в виду предел...

Зная, что Вы имели в виду, я _с_трудом_ проследил за логикой.

И Вы всерьез хотите получить осмысленный ответ на вопрос, сформулированный подобным образом?

Все же надо говорить на каком-то определенном языке, иначе получается знаменитое "Волны перекатывались через мол и падали вниз стремительным домкратом". Особенно в математике!

>И Вы всерьез хотите получить осмысленный ответ на вопрос, сформулированный подобным образом?

А можно я заделаюсь телепатом и задам его вопрос (меня заинтересовало) Пусть есть отображение f из [1..N]x[1..M] в еденичную окружность (как подмножество C)

[1..N],[1..M] - начальные отрезоки натурального ряда

Пусть мы думаем что f(k1,k2)= exp (2*pi*sqrt(-1)*(u*k1/N+v*k2/M), для некоторых (u,v) из [1..N]x[1..M]. Как подобрать такие u,v и оценить погрешность подбора?

> Фабрика выпускает карандаши длиной 10, 20 и 30 сантиметра. Причем, 99% карандашей, выпущенных фабрикой, имеют длину 10 см, и по 0.5% процента -- остальные.
Ну, типа это уже не функция :-)

> 1. .. "мат.ожидание дискретного процесса" ...

Хм.. цитата получена не методом copy-paste... Я такого не писал!
Там написано: "мат.ожиданием этого _случайного_ процесса" ;-)

> 2. Что такое "все значения f(n)"? (см. пример выше).

А чтобы пример выше не работал сказано, что случайный процесс -- эргодический.

> И Вы всерьез хотите получить осмысленный ответ на вопрос, сформулированный подобным образом?

Мм.. Ответ на "И Вы всерьез хотите получить осмысленный ответ на вопрос?" -- несомненно да :-)
А что касается "сформулированный подобным образом", то на данный момент я бы очень хотел узнать что мне надо бы ещё переформулировать чтобы получить этот ответ..

> "Волны перекатывались через мол и падали вниз стремительным домкратом"
Хороший пример. Спасибо :-)

"До чего техника дошла, вашу маму и там и тут показывают." (C) Простоквашино

Да, до чего средства телепатии дошли.. Или телепаты вышли из отпуска. Чудеса да и только! :-)