приближение функции обратной к exp(ax)cos(x)

Э-э-э, я правильно понимаю, что там будет бесконечно много решений? Причём какие бы ни выбирать, непрерывной на всей оси обратной функции не получится никак?

Попробовал взять ряд тейлора обратной функции, но он медленно очень сходится.

А аппроксимировать другими ортогональными полиномами не пробовал?

Классические Лежандр, Чебышев, Эрмит, ... или «цифровые» Адамар, Уолш, Хаар, ... иногда упрощают задачу в пределах допустимых погрешностей.

А аппроксимировать другими ортогональными полиномами не пробовал?

непонятно как это поможет в приближении обратной функции.

Э-э-э, я правильно понимаю, что там будет бесконечно много решений?

правильно. Меня интересует самое первое, которое меньше 2пи.

непонятно как это поможет в приближении обратной функции.

Сходимость ряда может быть лучше Тейлора.

Так я ряд Тейлора обратной функции только с помощью теоремы о производной обратной функции могу найти.

А чтобы другие полиномы юзать надо эту обратную функцию знать, не?

А хотя стоп... Можно же применить интегрирование по частям! Тогда мне только производную знать надо будет.

походу не очень поможет, потому что у меня получается, что вторая производная обратной функции уже в нуле (при определенных небольших конастантах) численно более 100. То есть Чебышев-то например поможет, но не сильно. Может я как-то плохо посчитал?

вот функция, f(t)=C*exp(lambda*t)*cos(mu*t+alpha). Константы, допустим, такие:

[alpha = .33984, C = 1.4336, lambda = .17678, mu = .98425]

f:t->x

формула второй производной от f^{-1}(x₀) получается как -f"(t₀)/[f'(t₀)]^3, при t₀=f^{-1}(x₀). Проверь плз.

и вообще, cast Eddy_Em

Опиши подробнее, откуда взялась задача и что ты с решением будешь делать.

Задача взялась из решения системы дифуров. Надо знать когда траектория по иксу пересечёт определённую линию и нам надо узнать игрек координату этого пересечения

Скажем так, имеем систему, которую хотим вывести в стабильную точку. После вывода в эту точку свойства системы могут поменяться и точка смещается. В результате надо выводить снова. Однако известно что меняется только игрек координата.

Если совсем к истокам: это buck converter, у которого может поменяться сопротивление нагрузки. Надо вычислить пределы изменения нагрузки, при которых оптимальный по быстродействию возврат в режим возможен с одним переключением.

Я фазовую диаграмму позже запощу

Пока сильно ясно не стало. А зачем тебе обратная функция в явном виде? Сколько раз будешь повторять процедуру? Можно ли заранее найти все решения, а потом их использовать в режиме реального времени или нужно делать коррекцию в режиме реального времени?

В явном не надо. Но по другому получить y(x) не знаю как. Посчитать можно в принципе и заранее численно. Но хотелось бы аналитическую оценку какую-то

Аналитическую оценку положения значений обратной функции?

Я бы может и подсказал что-то, но пока не понял задачи. Функцию вижу, решения уравнения вижу. Проблемы не вижу.

На первый взгляд, для начала я бы решил f(t) = exp(t)cos(t) для [0, pi/2]. А там уже можно что-то придумывать.

Это тоже не решается. Сложности те же

Пусть будет x=exp(t)cos t, y=exp(t) sin t. Есть линия x=x0>0. Надо вычислить координаты пересечения траекторией этой линии

вот фазовая диаграмма:

https://dropmefiles.com/cpgg3

https://ru.wikipedia.org/wiki/Метод_бисекции

Мне надо аналитическая оценка, а не чисолнное решение.