Что такое свёртка?

Когда пытался это закодить «в лоб» ради интереса, получилось просто перемножение двух массивов с хитрым сдвигом. По результату похоже на то, что в википедии нарисовано. Мне ближе синтез звука, я бы назвал это наложением огибающей.

Говорю как понял из курса УРЧП. В контексте обобщённых функций свёртка симметричнее выглядит: <f * g, φ> = <f(x), <g(y), φ(x+y)>>, что понимается как равенство интегралов ∫(f*g)(x)φ(x)dx = ∫f(x)g(y)φ(x+y)dxdy. В частности, получается, что если функцию f(x) свернуть с дельта-функцией, помещённой в точку a, δ(x-a) («единичный импульс в точке a»), то получится f(x)*δ(x-a) = f(x-a), f сдвинулась на a. В общем случае получается некое обобщение этого явления, f*g - это как бы мы берем много копий функции f, сдвигаем их на всевозможные векторы a, умножая на коэффициент g(a), и усредняем интегрированием. Например, если дана функция f, разрывная какая-нибудь, негладкая, можно взять дельтаобразную последовательность δ_n(x) (из гладких функций, сходящихся к δ), сделать свёртки f*δ_n и получится последовательность своего рода сглаженных версий функции f. Это можно наглядно тут увидеть.

Свертка - это зеркальное отображение корреляции ☺

А вообще, все достаточно просто: если тебе известна аппаратная функция некоторого черного ящика, ты всегда можешь при помощи свертки понять, что на его выходе случится с заданным входным сигналом.

Если очень приблизительно и общо, то это модуляция.

свертка - это фильтрация в широком смысле слова )

если что - вот тут неплохие примеры на пальцах

https://www.reg.ru/blog/svyortka-v-deep-learning-prostymi-slovami/

что такое свёртка, и для чего она нужна, в 2-3 словах?

Для домохозяек™: свёртка мяса и мясорубки порождает фарш, опосля интегрирования – котлету :)

В википедии нормально же описано.

kek

понять, что на его выходе случится с заданным входным сигналом.

А ничего, что таких решений несколько?

Оно единственное, вообще-то!

Фарш невозможно провернуть назад,
Корову из котлет не восстановишь!

©

Про теорему Пикара наш доцент не слыхал?

При чем здесь теорема Пикара?

Аппаратная функция — это реакция черного ящика на дельта-функцию на входе. Если же мы берем произвольный сигнал и сворачиваем его с аппаратной функцией, то получаем как раз выходной сигнал. Однозначный.

Если же мы берем произвольный сигнал и сворачиваем его с аппаратной функцией

То получам интегральное уравнение Фредгольма, которое имеет спектр собственных значений. Сюрприз?

Что за чушь? Это у математиков все строго и наворочено, а у физиков очень просто. И интегральным уравнениям там вообще неоткуда взяться, т.к. в строгом смысле слова интегралами здесь и не пахнет (тупая сумма ряда).

Интеграл - предел суммы ряда. Бегом за парту на первый курс матана.

Как-то ты мутишь воду.

В случае о котором говорит Eddy_Em ядро уравнения Фредгольма будет представлять собой функцию разности своих аргументов, и соответственно решение уравнения Фредгольма находится как обратное преобразование Фурье от отношения прямых преобразований Фурье (спектров сигналов в простонародьи) двух сигналов, о которых говорит Эдди.

Если у нас есть два физических сигнала как функции от времени, то спектр каждого из них - только один. Берем реальную жизнь, а не дикие математические случаи. У такого сигнала не может быть несколько разных спектров. Соответственно и решение уравнения Фредгольма в данном случае будет только одно.

То есть в данном частном случае все так, как говорит Eddy_Em.

А я про инструмент для сворачивания замков подумал.

А ничего, что задача является некорректно поставленной? И никакого «однозначного» спектра не существует? Мы ведь про физику говорим? У любой аппарапной функции неидеальная характеристика, что приводит к искажению спектра.

Утыбожемой! Да всем насрать на это! Работает же!!!

Если бы физики так упорно в математику лезли, у нас до сих пор не было бы спектрографов с R=100/200 тысяч! Да и спекл-интерферометрию бы не родили.

Так ты определись. Искажение не означает неоднозначность. Искажение это искажение.

Вот берем электрический сигнал, получаем его спектр. С какого перепоя мы получим не один спектр, а несколько разных? Это дичь какая-то.

Или может мы чего тут не понимаем, поясни подробнее, что ты имеешь в виду.

К тому же в реальной жизни свертка считается дискретных функций, а не непрерывных. У конечной дискретной функции от времени будет конечное дискретное преобразование Фурье. Однозначное. Или ты не согласен? Обоснуй математически тогда.

Если бы не лезли, то не было бы теоретических работ по таким задачам и разработанных программ для их решения.

Возможно, он попутал это с обратной процедурой - деконволюцией. Вот там — реально некорректная задача с множеством решений.

P.S. Часто не используют ДПФ, а решают свертку «в лоб». Тем более, что процедура отлично параллелится и на видеокартах или многоядерных процессорах достаточно быстро должна выполняться.

По дискретным конечным во времени функциям и деконволюция будет одно решение иметь.

Свертка - перемножение спектров сигналов, деконволюция - деление. Поделив два числа точно так же один ответ получим.

Он просто намного более общую математическую теорию натягивает на наш физический частный случай.

Свертка - это такая заплющенная железяка, которой с усилием сворачивают личинку замка автомобиля с целью открыть дверь :)

Мы про уравнение Фредгольма. Возьмем обратную задачу спектроскопии, это свертка исходного спектра с аппаратной функцией спектрометра. Решением этого уравнения является целая куча спектров и поэтому задача является некорректно поставленной, чисто в лоб ее не решить.

Искажение не означает неоднозначность. Искажение это искажение.

Искажение, если строго - это тоже свертка импульсной функции и сигнала, емнип.

Чушь какая! На выходе спектрографа спектр один-единственный. И неоткуда там взяться двум и более!!

Вот есть у тебя однозначный сигнал. Есть однозначная аппаратная функция. Как их свертка может породить больше одного решения? Да никак! Свертка - это ОДНОЗНАЧНАЯ операция. А в общем смысле, если ни одна из сворачиваемых функций не имеет нулей, то она еще и обратимая!

P.S. У меня диссер (2006 год) посвящен был матмоделированию спектрографа ☺

В смысле? Я например пишу софт, в котором делается конволюция и деконволюция. И то и другое считается и работает. И вдруг ты заявляешь что это невозможно? Это как?

Далее. Про уравнение Фредгольма - не мы, а ты. Мы же про частный случай этого уравнения с ядром в виде функции разности своих аргументов. Я же уже про это писал.

Третье - мы про дискретные функции, определенные на интервале от 0 до T. Вот и объясни мне, как свертка двух таких функций будет неоднозначной. Каким образом?

А вообще давай по-другому. Ответь, в каком конкретно случае имеет место быть то, о чем ты пишешь? Что за прибор и какие сигналы обрабатываются конкретно? Может мы просто не в теме этой предметной области.

Твой спектрометр имеет ограниченное разрешение, а это значит он вырезал из выходного сигнала слева и справа по длине волны. А значит на бесконечном множестве входных спектров ты получишь одинаковый выходной.

Для деконволюции надо использовать методы регуляризации, иначе решений не получишь.

Что за прибор и какие сигналы обрабатываются конкретно? Может мы просто не в теме этой предметной области.

Банальный спектроскоп, который моделировал Эдик.

Задача ставится так:

Пусть с помощью некоторого реального спектроскопа наблюдается спектр. Так как прибор реальный, он имеет конечную разрешающую способность, то наблюдаемый спектр, отличается от того, который зафиксировал бы идеальный спектроскоп (т. е. спектроскоп с бесконечно высокой разрешающей способностью).

Требуется редуцировать спектр, полученный на приборе с конечным разрешением, к истинному спектру.

Во-первых, не «не получишь», а строгих с точки зрения математики не получишь. С точки зрения инженера прекрасно получишь.

Во-вторых уже разобрались вроде выше, что Эдди говорил о конволюции, а не о деконволюции.

Требуется редуцировать спектр, полученный на приборе с конечным разрешением, к истинному спектру.

В такой постановке задачи - да. Но далеко не всегда задача ставится так.

У тебя прибор отрезает высочастотную составляющую. Конволюция всех сигналов в спектре которых любые высокочастотные составляющие даст одинаковый сигнал на выходе. Это понятно? Поэтому говорить о однозначности нельзя.

У тебя прибор отрезает высочастотную составляющую. Конволюция всех сигналов в спектре которых любые высокочастотные составляющие даст одинаковый сигнал на выходе. Это понятно?

Это - да, бесспорно. Но разве речь шла об этом?

понять, что на его выходе случится с заданным входным сигналом.

А ничего, что таких решений несколько?

Я так понял твою исходную фразу, что у одного исходного сигнала несколько спектров.

А теперь ты говоришь о том, что у разных входных сигналов будет один и тот же спектр.

Разница кардинальная, как бы.

то наблюдаемый спектр, отличается от того, который зафиксировал бы идеальный спектроскоп (т. е. спектроскоп с бесконечно высокой разрешающей способностью).

Для чего нужен «идеальный спектроскоп»?

Требуется редуцировать спектр, полученный на приборе с конечным разрешением, к истинному спектру.

Для чего нужен «истинный спектр»?

Эдик пишет «мы берем произвольный сигнал и сворачиваем его с аппаратной функцией, то получаем как раз выходной сигнал. Однозначный.»

Я указал, что слово «однозначный» использовать некорректно. Т.к. свертка дает одинаковый выходной сигнал на множестве входных.

Для чего нужен «истинный спектр»?

Например для определения присутствия изотопа.

Это не тот «истинный». Ваш «истинный» был получен на бесконечном интервале врмени

Наблюдатель не существует бесконечно.

поэтому я и спросил - для чего вам «истинный спектр»?

Я указал, что слово «однозначный» использовать некорректно. Т.к. свертка дает одинаковый выходной сигнал на множестве входных.

Вообще-то корректно. Для любого конкретного входного сигнала мы получим однозначный выходной. Не десять разных выходных, не двадцать. Ровно один выходной. К этому возражения есть?

Проблема для обратной задачи - имея выходной сигнал, мы уже однозначный входной не получим.

Об этом и писал Эдди.

У тебя какая-то странная логика.

Слово «однозначный» я трактую как «каждому входному операция свертки ставит в соответствие один и только один выходной.»

Я понял что ты трактуешь именно так, и тогда все прояснилось. Но мы, видимо, тут трактуем иначе.

А нет, погоди, все равно же не так.

каждому входному операция свертки ставит в соответствие один и только один выходной

Ведь ровно так и есть. У каждого входного сигнала будет ровно один выходной.

У разных входных может быть одинаковый выходной, но это никак не отменяет первого утверждения.

самое время напомнить то, что я написал выше - свертка - это фильтр, она уменьшает объем информации ) хотите деконволюцию - вносите шум )

Так и есть: каждому входному спектру соответствует один-единственный выходной. И никак иначе.

Что до восстановления исходного спектра, это некорректная задача, т.к. аппаратная функция спектрографа неизвестна + в реальной системе теряется приличная часть информации. Поэтому для получения спектров высокого разрешения на вход спектрографа ставят перестраиваемый ИФП. Но все равно это не позволяет получить желаемого разрешения хотя бы в 1 миллион. А физически построить астроспектрограф с R=1000000 невозможно: света не хватит, с таким разрешением одно лишь Солнце можно исследовать.

Мне в принципе пока везет - в спектре провалов в ноль нет, и я деконволюцию прямо в лоб делаю.

А при чем здесь спектр? Для деконволюции нужно, чтобы в аппаратной функции не было нулей (и даже близких к нулю областей). А этого не бывает никогда, поэтому приходится обрезать неким окном аппаратную функцию, что приводит к дополнительной потере информации.