[матан][проблемы, архимед?]поясните парадокс

Пределы уже проходили?

Кстати, таким же макаром можно посрамить и Пифагора, представляя гипотенузу «ступеньками» и устремив высоту «ступеньки» к нулю

trollface.svg

Для развлечения на эту тему. Там адЪ и угар.

О сколько нам открытий чудных готовит просветленья дух!
http://img456.imageshack.us/img456/6618/021052005202018540001ss0do.jpg

гуманитарий? ты ещё диагональ прямоугольника «лесенкой» посчитай…

Ты упал? Лесенкой периметр не посчитаешь. Эта лесенка не сходится к длине окружности.

Площадь лесенкой - можно, по теореме «о двух милиционерах».
Площадь внутренней и внешней лесенки сходятся к одному числу, площадь круга на каждом шаге между ними. Значит площадь равна пределу площади любой из этих лесенок.

С периметром такой фокус не пройдёт просто потому что периметр внутренней лесенки может быть больше периметра круга.

С чего ты решил что он сходится к длине окружности?

Матчасть: http://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_о_двух_милиционерах

Кстати, знающие люди, просветите: она что, теперь будет теоремой о двух полицейских?

Топикстартер, ты в каком классе?

Я знаю, что тут в общем-то речь идет не о вычислении π, а о чём-то другом.

О том, что даже если последовательность кривых сходиться равномерно к данной кривой, последовательность их длин вообще говоря не обязана стремиться к длине придельной кривой. Первокурсники, начинающий изучать матан, часто на этом попадается.

Это из серии разрезания квадрата и составления из него треугольника - «Куда подевался сантиметр площади?».

И никто не заметил, что там по их логике пи должно получиться равным двум, а не четырем.

sqrt(a²) ≠ a
sqrt(a²) = |a|

Математический софизм же.

Спасибо, капитан (:

> И никто не заметил, что там по их логике пи должно получиться равным двум, а не четырем.

Щито?

Когда извлекали корень, потеряли знак. 5-9/2 >0, а 4-9/2 < 0.

Периметр многоугольника всегда равен 4, а вот площадь его стремится к площади круга. Никакого парадокса нет.

Трехмерной аналогией «противоречия» является сапог Шварца.

Не кури больше этого. Пи - это отношение длины окружности к её диаметру.

А в чём проблема? Ну да, длина не является непрерывной функцией кривой. Она только полунепрерывна, т.е. длина предела последовательности кривых не превосходит (но не обязательно равна) пределу длин этих кривых.

сходиться
придельной

а старшекурсникам неплохо ещё и русский языка уметь

Кто понял жизнь тот бросил школу, так что ни в каком. Глупый жиртрест, вчитывайся в мой пост до просветления. За теорему о двух милиционерах спасибо.

многоугольника с прямыми углами, во. Именно этот вывод я не мог сформулировать вчера ночью.

Точняк, спасибо.

Совершенно очевидно, что это проблемы Геометрии как таковой. Еще Лобачевский в своей геометрии исходя из того, что через точку не лежащей на прямой можно провести бесконечное множество прямых параллельных исходной.

Откинув аксиому о паралельных прямых, он получил, что сумма углов в треугольнике всегда МЕНЬШЕ 180 градусов. Более того площадь треугольников (любых) это число конечное и многое другое.

Это все происходит сплошь и рядом. Математики против того, что Пи равно 4-м. Но они против того, что Пи равно 3.14 (посчитайте сами |Pi-3,14159|<|Pi-3,14| )

Именно поэтому квадратура круга не существует. Просто чем точнее мы вписываем квадратики тем больше появляется ошибок, а в сумме они опять дают несоответствие.

Поэтому до сих пор неизвестно какая геометрия ближе к нашему миру. Может быть и так, что они верны обе. При расчете малых расстояний на земле, она ведет себя как плоскость, а больших как шар.

>Матчасть: http://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_о_двух_милиционерах

У нас она называлась Теорема о Среднем. Вообще штука использующаяся почти в 80% доказательств. Так, же как теорема о пределе непрерывной функции в отрезке.

>Совершенно очевидно, что это проблемы Геометрии как таковой.

Совершенно очевидно, что это проблема в голове некоторых.

http://qntm.org/trollpi

Откинув аксиому о паралельных прямых, он получил, что сумма углов в треугольнике всегда МЕНЬШЕ 180 градусов.

Школу прогуливать нехорошо.

http://qntm.org/trollpi

Читать лень, можно вкратце?

Однако повеселило =)

>И никто не заметил, что там по их логике пи должно получиться равным двум, а не четырем.

Кое кто не заметил, что периметр там 4, а диаметр 1.

>So why is Troll Pi wrong? Because the assertion being made, «the limit of the lengths of a series of curves is the length of the limit curve of that series», is false.

Собственно это доказано для более простого примера (с теоремой Пифагора) с помощью вычисления пределов, формулы длины кривой и другого матана.

При таком делении ломаная всегда остаётся ломаной, её длина не приближается к длине кривой окружности.
Это похоже на разбиение отрезка на части: на сколько бы частей мы не разбили отрезок, суммарная длина этих частей останется равной длине отрезка. (В данном случае можно увидеть, что суммарная длина вертикальных и горизонтальных кусочков, из которых состоит ломаная, будет постоянной - по сути здесь просто рассматривается более мелкое разбиение отрезка постоянной длины на части).

Длина кривой вычисляется по-другому:
На кривой отмечают точки. Соседние точки соединяют линиями. В результате получается ломаная. При устремлении диаметра разбиения к нулю, длина этой ломаной будет стремиться к длине кривой (диаметр разбиения - максимальное расстояние среди расстояний между двумя соседними точками ломаной).

Кое кто не заметил, что периметр там 4, а диаметр 1.

А у вписанной «лесенки» периметр равен 2\sqrt2, среднее арифметическое между ними = 3.41 - уже некоторое приближение к \pi :)

>Кстати, знающие люди, просветите: она что, теперь будет теоремой о двух полицейских?

Она у нас, ЕМНИП, называлась теоремой о зажатой функции.

>Совершенно очевидно, что это проблема в голове некоторых.

вы хотите сказать, что в нашем мире существуют прямые? Ну, ну.... Покажите

>Школу прогуливать нехорошо.

Ну вы пойдите поучитесь сами сначала. В Евклидовой геометрии сумма углов равна 180, в геометрии Лобачевского всегда меньше 180, а в Римановой всегда больше.

И не стыдно вам показывать свою безграмотность?

>>Совершенно очевидно, что это проблема в голове некоторых.

вы хотите сказать, что в нашем мире существуют прямые? Ну, ну.... Покажите

приплетать в данному топику геометрию Лобачевского или Римана говорит о том, что «слышал звон, да не знаю где он».

Еще б метрику Минковского вспомнил, лол.

вот я думаю, полученная прямая вообще спрямляемая ли? Хотя длина у нее есть

Вспомни фракталы. Та же песня. Или простейший случай - эллипс (эллиптические интегралы, ага).

Смотря что считать критерием «прямизны» :)

> Вспомни фракталы. Та же песня. Или простейший случай - эллипс (эллиптические интегралы, ага).

Не совсем. У фракталов длина не вычисляемая. А тут длина такой кривой всегда одна и так же. Точнее это ломаная.

Вот только в пределе она не переходит в кривую

Я ж о чем и толкую: есть неспрямляемые кривые, а есть - математические софизмы как здесь.

Да это понятно... И понятно, почему. Но как бы это попроще объяснить?

>>вот я думаю, полученная прямая вообще спрямляемая ли? Хотя длина у нее есть

А никакой «полученной прямой» и нет, есть последовательность спрямляемых кривых.

>>Вспомни фракталы. Та же песня. Или простейший случай - эллипс (эллиптические интегралы, ага).

Что «фракталы»? Они тут вообще никаким боком.

эллипс

Закрой математический справочник и иди выучи хоть что-то.

да это понятно... я уже ниже написал

>>Поэтому до сих пор неизвестно какая геометрия ближе к нашему миру. Может быть и так, что они верны обе. При расчете малых расстояний на земле, она ведет себя как плоскость, а больших как шар.

К применимости к реальному миру той или иной геометрии этот чисто умозрительный «парадокс» не имеет никакого отношения.

Адекватный человек никогда не станет называть геометрию Геометрией. Простыня без единой формулы с вкраплениями имен собственных типа Число, Сфера, Единица, Стрела - гарантия сумасбродства автора.