Интеграл в L2

Перепиши по-человечески, ничего не понятно же.

use LaTeX, luke!

http://ru.numberempire.com/texequationeditor/equationeditor.php навскидку.

Твои каракули тут разбирать никто не будет

Были бы мои - не спрашивал бы, как эта фигня взята.
Вроде оно:
http://ru.numberempire.com/equation.render?\int_{\Omega%20}^{}%20\cfrac{x_1}{x_2}\,%20\frac{\partial^2%20u}{\partial%20x_4^2}%20\,%20v%20\,%20d\Omega%20=%20\int_{\partial\Omega%20}^{}%20\cfrac{x_1}{x_2}\,%20\frac{\partial%20u}{\partial%20x_4}%20\,%20v%20\,%20cos%28n,%20x_4%29%20\,%20dS%20-%20\int_{\Omega%20}^{}%20\cfrac{x_1}{x_2}\,%20\frac{\partial%20u}{\partial%20x_4}%20\,%20\frac{\partial%20v}{\partial%20x_4}%20\,%20d\Omega

так наверное просто по одной переменной из \Omega проинтегрировали (это же объём, я так понимаю)

ужас. Короче - мои предположения:

1) x1 и x2 - это константы.

2) была проведена partial integration или теорема Гаусса. Но вообще-то похоже на ересь какую-то. Я бы не был уверен, что это правильно. Вообще смысла не вижу пока.

на dxdy тебя б за такое не то что забанили, а вычислили б IP, приехали и дали банхаммером тупо по башке :)

Казалось бы, интегрирование по частям?

я об этом подумал, но в интегрировании по частям всплывает произведение без интеграла. А там такого нет.

Как вариант - разбить интеграл по \Omega на интеграл по \Omega^{n-1} и интеграл по R, а потом по R проинтегрировать по частям, а потом свести то получится похожее что-то. Но все же не то.

расскажи лучше, зачем оно тебе надо. Будет эффективней.

Вроде как там не x_4, а x_n.

Все это напомнило мне неправильно записанные лекции ур.мат.физа. Теперь на весь вечер настроение испортил.

я об этом подумал, но в интегрировании по частям всплывает произведение без интеграла.

Так там же есть поверхностный интеграл. Это оно и есть

Подробности можешь узнать в теореме Стокса и дифференциирования произведения

в теореме Гаусса под интегралом должна стоять полная дифференциальная форма. А у нас под ним стоит du/dx_n. Так что перевести интеграл по \Omega^{n-1} в интеграл по \partial\Omega^{n-1} не выйдет.

а член без интеграла - частный случай интегрирования по поверхности, когда интеграл одномерный

А то, что слева вторая производная - ты не заметил?

я говорю о втором шаге. Который выполняется _после_ интегрирования по частям. То есть нам надо разбить интеграл по \Omega на два: \int_\Omega^{n-1} \int\limits_phi(a)^\phi(b)

По-нормальному это видимо записывается как то, что лапласиан u, умножить на v, это интеграл по поверхности от градиента u, умножить на v и скалярно на нормаль, минус интеграл от скалярного произведения градиента u на градиент v

По-нормальному это видимо записывается как то, что лапласиан u

вот если б там был лапласиан, то был бы другой разговор. А там хз что. Просто вторая производная по x_n.

Какой второй шаг? Ты о чем? На картинке - интегрирование по частям в чистом виде.

нельзя так проинтегрировать по частям. Откуда там \partial\Omega взялось? Оно только из теоремы Гаусса может взяться. А куда ее там прилепить?

Ну тогда действительно разбиваем интеграл на интеграл по x_n и по остальному.

При интегрировании по частям возникает внеинтегральный член, который будет интегрироваться по всему остальному.

И когда ты будешь интегрировать внеинтегральный член по всему остальному, ты ровно по поверности области и пройдешься

Если непонятно - нарисуй картинку.

При интегрировании по частям возникает внеинтегральный член, который будет интегрироваться по всему остальному.

он будет интегрироваться ровно по \Omega^{n-1}, а не по \partial\Omega.

Единственное, что возможно в данном примере, так это если все вторые и первые производные функции u по x_1 до x_{n-1} равны нулю. то есть фактически u - это функция одной переменной x_n.

И когда ты будешь интегрировать внеинтегральный член по всему остальному, ты ровно по поверности области и пройдешься

я пройдусь не по поверхности, а по срезам объема.

Как я понял, u и v - это функции от (x1, x2, x3, x4).
Такой интеграл всплывает в задаче поиска сопряженного дифференциального оператора. В общем, это матфизика.
Спасибо за идею с интегрированием по частям в многомерном пространстве.
Это ведь оно?
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/math/b/d/0/bd01bfd0cd2ef0d83457ad3f09fb40be.png
Вроде похоже.

+100500

А для внеинтегрального члена - именно по поверхности.

Для внеинтегрального члена - интегрирование от одного края поверхности, до другого. Ну то есть мы зажимаем ее как бы между двумя гиперплоскостями. Один член меняется от a до b. А остальной интеграл берется по \partikular\Omega^{n-1}(\phi(x), phi(a)<x<phi(b)

Да, а ты не подумал, что dx_1....dx_{n-1} = dS \cdot cos(n, x_n)

http://desmond.imageshack.us/Himg7/scaled.php?server=7&filename=outmj.png...

Да, а ты не подумал, что dx_1....dx_{n-1} = dS \cdot cos(n, x_n)

1) да, не подумал.

2) если это нечто выпуклое, то интегируя по всей поверхности ты проинтегрируешь два раза - это раз. А во-вторых под интегралом функция от x\in\Omega. и интеграл по поверхности «подставляет» в этоу функцию совершенно другие значения.

3) в случае с невыпуклыми областями вообще говоря dx_1....dx_{n-1} = dS \cdot cos(n, x_n) некуда приткнуть.

Все нормально притыкается.

Аккуратно нарисуй и посмотри.

И интегрируется 1 раз.

В случае выпуклого у нас 1 отрезок интегрирования, а в случае невыпуклого их может быть несколько.

Но в любом счучае верхний предел внеинтегрального члена даст интегрирование по той части поверности, что смотрит вверх, а нижний предел даст ту, что смотрит вниз.