«простенькая» теорема

По какому множеству интегрируем?

Что известно про последовательность функций f_n(t)?

(в зависимости от ответов можно как подобрать контрпример, так и доказать, если что-нибудь ещё известно).

По какому множеству интегрируем?

[0,1] для начала.

Что известно про последовательность функций f_n(t)?

ну, то что f_n(t) непрерывна почти всюду. А вообще изначально сабж надо показать в пространстве W_2^1. и соответственно там вместо (f_n(t))^2 стоит (\dot f_n(t))^2

А все это вылазит потому, что мне надо показать коерцивность квадратного функционала на пространстве W_2^1.

(в зависимости от ответов можно как подобрать контрпример, так и доказать, если что-нибудь ещё известно).

вот я и пытаюсь контрпример найти, но че-то хорошего (то есть чтобы убить дать ответ да/нет) не выходит. Все какие-то дополнительные условия получаются. Например, что в окресности точки, где B(t)=0 B(t) должна обладать такой-то степенью сингулярности и прочий ад.

Был бы интеграл Римана, несобственный, да на луче [1; +inf), пример подбирался бы тривиально: пусть f_n(t) = sqrt(1/t) для всех n, B(t) = 1/t (если обязательно нужно, чтобы где-нибудь B равнялось нулю, то можно поправить вблизи нулей, это несущественно). Тогда первый интеграл вполне себе сходится, а второй - нет...

а вообще это все вылазит отсюда:

J(x)=\int_0^1 A(t)x^2(t)+B(t)x'^2(t) dt; A(t),B(t)\in C^0; x(t)\in W_2^1

Пытаюсь уточнить требования к A(t),B(t) чтобы функционал J(x) был коерцивным. ну то есть, чтобы при \int_0^1 x_n'^2(t) dt -> inf => J(x_n) -> inf.

и тут возникает вопрос надо ли мне требовать, чтобы inf B(t) был обязательно >0, или достаточно требования B(t)>0 почти всюду.

звестно, что int(f_n(t)^2,t=0..1) -> inf. Как показать (или опровергнуть), что и первый интеграл тоже -> inf?

Ну вот скажем если f_n(t)^2 это такая последовательность вытягивающихся треугольников о основанием [0, 1/n] высоты n^2, то ясно дело их площадь будет стремиться к бесконечности. Но вот если ее чем нибудь смодулировать, например B(t)=t^3, интеграл будет меньше 1/2 * 1/n * n^2 * (1/n)^3 и будет стремиться к нулю.

спс. То что надо!

/me записал в багаж :)

<offtop>

Может пора запилить на ЛОРе поддержку латеховских формул? Тогда можно будет вместо помощи с матаном кидаться какашками в неосиляторов тега [latex].

</offtop>