LINUX.ORG.RU

Про обобщенные функции

 


1

3

Привет, мужики, давно у вас не был. Тут некоторое время назад прочитал про такую зашибенную вещь, называется обобщенные функции. Я как понял, есть такие специальные пространства обобщенных функций, где они образуют группу по свертке и есть пространства обобщенных функций, где разные модные интегральные преобразования (Фурье, Лапласа) отображают эти пространства сами на себя. А мы знаем, как преобразование Лапласа позволяет решать всякие дифуры (с помощью операционного исчисления, например). Однако, книжка была весьма путанная, я так и не понял, взять вот функцию e^(-a*z), которая является образом \delta(x-a). Как сделать её обратное преобразование, т.е. получить эту их дельта функцию?

А ешё есть профит от обобщенных функций?

Накрутите мне скор 50, плиз

Ответ на: комментарий от mix_mix

Жуткая книжечка. Там про какие-то гиперфункции написано, слышу про них в первый раз. Я традиционно дельта-функцию представляю - как слабый предел функций в особенностью в нуле, а далеко от нуля «затухающих»

hey-propagandist
() автор топика
Ответ на: комментарий от hey-propagandist

Эх ты, а ещё советовал! )

мой совет это не отменяет :)

Я тут покопал вглубь (спс тебе за вопрос и тов. unanimous, которые косвенно дали мне пинок наконец-то разобраться с этим «непотребством»). Так вот, преобразование Лапласа определено на пространстве L². Дельта-функция сама по себе не лежит в этом пространстве. То есть прямо так взять и преобразовать ее, строго говоря, нельзя. Но насколько я понимаю, ее можно использовать в качестве меры. Интеграл в преобразовании Лапласа необходимо трактовать как интеграл Лебега с мерой определенной той самой дельта-функцией.

так что по сути дельта-функцию тебе получить не удасться. По крайней мере в том смысле, в которым ты этого хочешь.

Если все же подставить exp(-az) в формулу обратного преобразования, то получишь функцию, которя везед 0, кроме точки x=0, в которой она будет +inf. Но дельта-функцией это в строгом понимании являться не будет.


С темой я пока так и не разобрался, если чё, просто не очень сильно надо. Как я понимаю, надо с какой-то пробной функцией скалярное произведение брать, не?

ну, написанное выше как-то осветило вопрос?

dikiy ★★☆☆☆
()
Ответ на: комментарий от dikiy

Я уже должен идти бай-бай, так что точно отвечу только завтра (в плане, стало ли понятней). Единственное только что странно, так это то, что интеграл в формуле обратного преобразования - интеграл Лебега. По мне так там главное значение интеграла Римана. Сам представь, там осциллирующие фигни типа e^(ixz) обычное дело вроде. От них не возьмешь интеграл Лебега.

Вот ясно, что L^{-1} \delta это ведь такой же функционал. Вот и надо как-то взять особую функцию фи и как-то посчитать скалярное произведение и получить фи(0). Не знаю как.

hey-propagandist
() автор топика
Ответ на: комментарий от hey-propagandist

Я уже должен идти бай-бай, так что точно отвечу только завтра (в плане, стало ли понятней). Единственное только что странно, так это то, что интеграл в формуле обратного преобразования - интеграл Лебега. По мне так там главное значение интеграла Римана.

не. товарищ unanimous правильно заметил - главное значение это вторично. Первичная формула другая. Посмотри в функане от Иосиды например.

да и тем более обратное преобразование тоже ведь надо будет уже в рамках нововведенной меры по дельта-функции брать.

Вот ясно, что L^{-1} \delta это ведь такой же функционал.

совсем не ясно. Дельта-функция сама по себе не обладает теми свойствами, которые требуются классическим обратным преобразованием Лапласа.

dikiy ★★☆☆☆
()
Ответ на: комментарий от dikiy

не. товарищ unanimous правильно заметил - главное значение это вторично. Первичная формула другая. Посмотри в функане от Иосиды например.

Процитирую его: Это лажа. Обратное преобразование берется в смысле главного значения по Коши.

Он сказал, что контурные интегралы и другие приемы из ТФКП - вторично. Вот если правильно помню, даже от 1/z если искать обратное преобразование, будет что то вроде e^(ixz)/z. От этого нет интеграла Лебега, как и от sin(x)/x, например. Ты мне книгу советовал про гильбертовы пространства и применение в народном хозяйстве. Там это как одно из упражнений. До обобщенных функций я пока не добрался там, лол.

Дельта-функция сама по себе не обладает теми свойствами, которые требуются классическим обратным преобразованием Лапласа.

Да, но это функционал. Также и Ldelta: (Ldelta, f) = (delta, Lf) линейный непрерывный функционал на пространстве особых функций медленного роста. Что-то такое и для обратного преобразования можно сделать.

hey-propagandist
() автор топика
Ответ на: комментарий от hey-propagandist

Процитирую его: Это лажа. Обратное преобразование берется в смысле главного значения по Коши.
Он сказал, что контурные интегралы и другие приемы из ТФКП - вторично.

ну да. Но на суть это не влияет.

Вот если правильно помню, даже от 1/z если искать обратное преобразование, будет что то вроде e^(ixz)/z. От этого нет интеграла Лебега, как и от sin(x)/x, например.

насколько я понимаю, преобразование Лапласа можно проводить между различными пространствами. И не в каждом из них оно однозначно. Но именно в плане дельта-функции я не вижу другого метода, кроме как интегралом Лебега с соответствующей мерой сделать это.

Дельта-функция сама по себе не обладает теми свойствами, которые требуются классическим обратным преобразованием Лапласа.

Да, но это функционал. Также и Ldelta: (Ldelta, f) = (delta, Lf) линейный непрерывный функционал на пространстве особых функций медленного роста.

это все не строго, а на «пальцах». Дельту нельзя использовать в виде функции. То есть писать
[latex]\int_A \delta(x) f(x) dx[/latex] строго говоря нельзя.

Что-то такое и для обратного преобразования можно сделать.

dikiy ★★☆☆☆
()
Ответ на: комментарий от dikiy

Дельту нельзя использовать в виде функции. То есть писать

[latex]\int_A \delta(x) f(x) dx[/latex] строго говоря нельзя.

Не суть, многие так пишут, имея в виду, что дельта подействовала на f. Блин, я тут прикупил терменвокс и целиком занят им сейчас.

hey-propagandist
() автор топика

Накрутите мне скор 50, плиз

Аха ::)

Dron ★★★★★
()
Ответ на: комментарий от hey-propagandist

строго говоря нельзя.

Не суть, многие так пишут, имея в виду, что дельта подействовала на f. Блин, я тут прикупил терменвокс и целиком занят им сейчас.

то что так пишут не значит, что это действительно строго правильно. Надо было бы писать или

[latex]\delta(f)[/latex]

или

[latex]\int_A f(x) d\delta[/latex]

Ну или как-то по-другому, если определить дельта-функцию каким-то другим методом.

А терменвокс - это тема конечно. Но сцуко наверное самый сложный инструмент вообще.

dikiy ★★☆☆☆
()
Последнее исправление: dikiy (всего исправлений: 5)
Ответ на: комментарий от dikiy

Но сцуко наверное самый сложный инструмент вообще.

Мда. Вот мне на неделю интернет отключили, а я весьма мало смог на нём осилить.

hey-propagandist
() автор топика
Вы не можете добавлять комментарии в эту тему. Тема перемещена в архив.