Аппроксимация полиномом функции-пилы?

Я правильно понимаю, что это когда точек так много что кривая выглядит довольно красиво, а если увеличить масштаб - то на деле очень мелкие зигзаги и для вычисления производных надо аппроксимировать?

Попробуй это:

https://www.gnu.org/software/gsl/manual/html_node/Chebyshev-Approximations.html

У R вполне должны быть биндинги к gsl или свои аналоги.

У меня недавно был похожий случай, но кривая была такая что помогло только это:

https://www.gnu.org/software/gsl/manual/html_node/Basis-Splines.html#Basis-Splines

По моему ты хочешь простой интерполяции, и МНК тут не причем.

stats::approx           Interpolation Functions
stats::spline           Interpolating Splines

Кстати вот gsl-ий аналог nls:

https://www.gnu.org/software/gsl/manual/html_node/Nonlinear-Least_002dSquares-Fitting.html#Nonlinear-Least_002dSquares-Fitting

Может эти доки тебе помогут.

Я это как-то раз использовал, но не получалось. Может с функцией я ошибся, хотя она у меня была довольно похожа. Может функция была очень сложной для машинки. Не фартануло короче.

Присоединяюсь к ответу.

Конкретно я вот этим пользовался:

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC_%D0%9B%D0%B5%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%B1%D0%B5%D1%80%D0%B3%D0%B0_%E2%80%94_%D0%9C%D0%B0%D1%80%D0%BA%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B4%D1%82%D0%B0

Суть я не очень понял.

Не стоит пилу аппроксимировать полиномами, даже чебышёвскими, по всей области, гораздо лучше локально сплайнами.

В R можно аппроксимировать полиномиальными и натуральными кубическими сплайнами. Функции соответственно bs() и ns() из splines. Лучшее ли это на пиле, я не знаю, но задав степень повыше можно получить любую точность. ns только для кубических и дает гладкую экстраполяцию на правом крае, тебе это не обязательно. В параметрах число степеней свободы - количество узлов на которые разбивается горизонтальная ось (+4 для ns) Тут можно посмотреть, как это устроено

https://www.youtube.com/watch?v=7ZIqzTNB8lk

хочется построить по выборочным максимумам и минимумам (например, за 2-е суток) аппроксимацию

Получится же не очень корректный график?

Какой параметр вам важнее отобразить - максимальную загрузку? Среднюю? Лучше тогда просто показывать это значение.

Если хотите показать честнее, можно вертикальные линии графика отображать с разным уровнем прозрачности.

... функции-пилы? ... чем лучше такое аппроксимировать?

Компактно определяется коэффициентами наклонного преобразования (slant transform).
В стандартных мат. пакетах обычно считают через преобразования Уолша-Адамара.