Помочь опровергнуть (доказать?) сходимость ряда

Если воспользуешься моим юзерскриптом и воткнешь формулы в тег latex, получится картинка:

Пусть дана последовательность [latex]a_1, \ldots, a_n, \ldots[/latex], такая, что [latex]a_1 \ge a_2 \ge a_3 \ge \ldots[/latex] (невозврастающая) и [latex]\sum_{i=1}^{\infty} a_i < + \infty[/latex]. Тогда

[latex]\sum_{i=1}^{\infty} \sqrt{a_{2i} - a_{2i - 1}} < +\infty[/latex]?

картинка

[latex]\sum_{i=1}^{\infty} \sqrt{a_{2i} - a_{2i - 1}} < +\infty[/latex]

Не факт. Возьми для примера последовательность [latex]\frac{1}{x^2}[/latex], на первый взгляд, получится хрен с маслом. Более подробно может быть прикину после чая.

Так для нее вроде все хорошо получается.

Грубо говоря, разница порядка \frac{1}{n^3}, корень — одна полутаровая (:)), и ряд сходится.

Проверил Вольфрам Альфой — говорит, что сходится.

Корень из отрицательного числа? Как мило! Ведь [latex]a_{2i} - a_{2i - 1} \leq 0[/latex].

Перепутал индексы, бывает.

Ну там корень из разницы двух соседних просто.

А тебя не смущает, что если [latex]a_1 \ge a_2[/latex], то [latex]\sqrt{a_{2} - a_{1}} \le 0[/latex]?

Я перепутал индексы (изначально), отписал выше.

Корень из отрицательного числа?

А какая тебе разница — действительные числа суммировать или комплексные? Главное, чтобы по модулю меньше бесконечности получалось.

попробуй возвести частичные суммы в квадрат. Тогда те части, которые останутся без корня можно будет ограничить сверху соответвующим рядов [latex]\sum a_i[/latex], а те члены, что с корнями останутся можно попробовать тоже ограничить тем же, только предварительно использовать теорему Коши о том, что [latex]|a_n-a_m|\rightarrow 0[/latex]. Сейчас убегаю, поэтому может это и тупиковый метод. Будет время, подумаю, если тут не решат.

Да, я уже пробовал так. Проблема как раз с теми штуками, где корень остается. Их ограничить не удается. Точнее, можно и попробовать, но там получается что-то типа константы * k * S, где [latex]S = \sum a_i[\latex], а k — количество членов в частичной сумме ряда. В общем, беда.

А какая тебе разница — действительные числа суммировать или комплексные?

Алгебраический корень не определен для отрицательный чисел, а [latex]x^{1/2}[/latex] определена с точностью до [latex]\pm 1[/latex].

P.S. Где тег latex в панели юзер-скрипта?

Прошу прощения за оффтоп, но ты не мог бы вкинуть ещё свою тему ЛОРа куда-нибудь? А то твоя приглянулась, а на Black латеховские картинки заставили глаза вытечь.

Где тег latex в панели юзер-скрипта?

Сейчас сделаю push

Обновил, файл тоже.

// P.S. я очень редко вспоминаю, что надо обновить файл. Это касается и остальных моих реп. Поэтому надежней делать hg clone / hg pull

ХЗ, у меня тоже black с серым фоном. Ты можешь сам настроить нужное оформление: строка 1231, там задается URL. Попробуй разные варианты на codecogs. Что понравится — вставь в свой скрипт.

// до этого я texify использовал, но он, собака, что-то сдох

Спасибо!

Кому интересно: опровержение найдено (моим другом).

Вначале забьем на требование задачи: скажем, что нам нужна [latex]\sum_{i=1}^{\infty} \sqrt{a_{i} - a_{i + 1}}[/latex] . Погоды это не меняет.

Теперь рассмотрим [latex]a_j = \sum_{i=j}^\infty (a_i - a_{i+1}).[/latex] Таким образом, [latex]\sum a_i = \sum i (a_i - a_{i+1}).[/latex] В качестве [latex]a_i - a_{i+1}[/latex] возьмем [latex]\frac{1}{i^2 \log^2 i}[/latex] - такой ряд сходится и a_1 конечно, таким образом после взятия корня получим [latex]\frac{1}{i \log i}[/latex] и сумма такого ряда бесконечна. Зато [latex]\sum a_i = \sum i (a_i - a_{i+1}) = \sum \frac{1}{i \log^2 i}[/latex], и этот ряд ВНЕЗАПНО сходится.

p.s. в этом примере надо везде брать сумму с двух, чтобы в деление на ноль от логарифма не попасть, опять же погоды это не меняет.

У меня к тебе просьба принять патчик, а то установил FF 24, и LOR-panel перестал работать.

--- LOR-panel.user.js.orig      2014-07-16 13:51:55.000000000 +0300
+++ LOR-panel.user.js   2014-07-16 13:58:24.000000000 +0300
@@ -69,14 +69,14 @@
 const TEST = false; // set to false in release
 
 if(window.parent != window){
-       console.log("INFRAME!!!");
+       unsafeWindow.console.log("INFRAME!!!");
        return;
 }
 
 const pluginVersion = "0.0.3"; // версия скрипта; нужна для оповещения при внесении изменений
 
-console.log("start");
-function tlog__(msg){console.log(msg);}
+unsafeWindow.console.log("start");
+function tlog__(msg){unsafeWindow.console.log(msg);}
 var tlog;
 if(TEST) tlog = tlog__;
 else tlog = function(msg){};
@@ -236,7 +236,7 @@
                var ankor = grt.getElementsByTagName("a");
                if(ankor.length > 0) return ankor[0].href; // tango
        }
-       console.log("Incorrect style or document");
+       unsafeWindow.console.log("Incorrect style or document");
        return "";
 }
 function UserGlobMenu(){
@@ -770,12 +770,12 @@
 mems.innerHTML = "<a id='memories0_button' href='#'></a>";
 TM.appendChild(favs);
 TM.appendChild(mems);
-var Itimeout = setInterval(initForms, 300);
+var Itimeout = window.setInterval(initForms, 300);
 function initForms(){
-       clearInterval(Itimeout);
+       window.clearInterval(Itimeout);
        memories_form_setup(false);
        memories_form_setup(true);
-       Itimeout = setInterval(initForms, 3000);
+       Itimeout = window.setInterval(initForms, 3000);
 }
 var shit = document.getElementsByClassName("icon-tag");
 if(shit.length > 0) for(var i = shit.length - 1; i > -1; i--) rmElement(shit[i]);
@@ -919,7 +919,7 @@
 // Add quote links
 function cre_links(o, L){
        var S = document.createElement("span");
-       console.log("LEN: " + L.length + " obj: " + o);
+       unsafeWindow.console.log("LEN: " + L.length + " obj: " + o);
        var Ll = L.length;
        for (j = 0; j < Ll; j++){
                qlink = document.createElement ("a");

Ничего ж себе! Ну и придурки... Теперь я точно знаю, что говнолиса нового ставить не буду. Мало того, что его внешний вид изуродовали (теперь приходится плагин ставить, чтобы браузер выглядел как браузер, а не кусок говна), так еще и жабоскрипт просрали... Уроды!

В старых версиях это будет работать?

В старых версиях это будет работать?

FF 24 — это ESR, куда уж более старый? Уже вон FF 31 вышел, но там нужный мне LiveReload сломали.

Сделано. Заодно починил неправильно работающую замену кавычек на кавычки + редактирование ответа на сообщение в отдельном окне/вкладке.