костыли

Для того, чтобы присвоить конечные значения расходящимся числовым рядам, в математике используются специальные методы суммирования

В комментариях же написано:
Есть теорема Римана об условно сходящихся рядах, согласно которой даже условно сходящийся ряд можно суммировать таким образом, чтобы его частичные суммы стремились к какому угодно пределу от минус до плюс бесконечности. Тем более подобные трюки можно проделывать с расходящимися рядами. Так что ничего удивительного.

Ряд u1+u2+u3+...un может сходится сходится только в том случае, если lim(un)=0, где n стремится к бесконечности.
Та же вики.

Этот трюк банкиры и правительства любят производить с вашим депозитом в банке. Складываешь складываешь туда деньги до бесконечности старости, а потом смотришь - а там в итоге денег как раз на 1/12 часть бутылки водки накопилось.
А теперь вот смотрижты даже научное обоснование есть. Еще по ходу готовят к тому, что и эту 1/12 часть ты еще и должен на самом деле будешь (не зря же там -1/12) =)

Софистка, пастор, софистика... (c)

В военное время любые ряды сходятся к пределу, установленному командиром :)

http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_zeta_function

Смысл в том, что если ты задаешь функцию в какой-то области (в данном случае рядом при Re(x)>1), то может так оказаться, что эта функция допускает аналитическое продолжение на бОльшую область (значения в указаннной области совпадают, интеграл вдоль любой замкнутой кривой равен 0). Тогда определение функции в виде ряда сохраняют, но опускают то, что он не имеет смысла вне первоначальной области. А потом всякие дорвавшиеся до формул идиоты начинают говорить, что ряд натуральных числе сходится к -1/12, что нужно только «правильно» просуммировать, что есть феерический дибилизм, т.к. правило суммирования в математике определено строго, и сумма натурального ряда +\infty.

Это необходимое, но не достаточное условие. Достаточное условие - ограниченность всех частичных сумм ряда по модулю, а так же сходимость этих частичных сумм к общему пределу .

Бесконечное количество математиков заходит в бар.
Первый говорит: — Мне пол-литра пива, пожалуйста.
Второй говорит: — А мне четверть литра.
Третий: — А мне одну восьмую.
Четвертый: — А мне одну шестнадцатую.
Бармен: — Эй, эй, эй, стоп! Вот, вам один литр на всех, не трахайте мне мозг!

Да, есть фокусы, позволяющие приписать некие какбысуммы расходящимся рядам. Есть и есть, что тебя пугает?

Нечто подобное, лет 5 назад, пытался оформить на доске проф. по матану. После 30 минут суммирований ряда n^(-1), он ни к чему не пришел, но обещал продемонстрировать на доп.лекции, как получается +5.

Эта необходимость - достаточное условие расходимости ряда, а у нас n стремится далеко в бесконечность!

Да, есть фокусы, позволяющие приписать некие какбысуммы расходящимся рядам. Есть и есть, что тебя пугает?

1+1=-8

Это всё влияние SCP-033

потому что доказанное так не имеет отношения к классической сумме ряда. Более того - есть проблема в доказательстве, там суммируются расходящиеся ряды. Может это и можно поправить, но....

ну и кроме всего прочего, там используются пределы Абеля, но лично мне неизвестно, можно ли к ним применять классические операции. Надо доказывать.

Короче - все это не стоит внимания.

Вердикт: простите, профессор, Вы идиот, который со здравым смыслом не дружит. Хорошо, что мне таких не попадалось. Не удержался. Уж лучше теорию эфира обсуждать, там хоть не так очевидно.

Видимо, автор той статьи что-то не так понял. Это сумма Рамануджана. Это не сумма ряда, а число, которое играет роль константы интегрирования для интегралов в конечных разностях.

Приведу пример.

f(x)=x

Теперь возьмем от этой функции дискретный неопределенный интеграл. То есть, решение уравнения F(x+1)-F(x)=f(x)

Получим F(x) = Sum f(x) = x^2/2-x/2+C

Однако было замечено, что в приложениях данная константа обычно появляется не абы какая, а вполне определенная.

Есть общая формула для дискретного неопределенного интеграла от степенной функции

Sum x^n=B_{n+1}(x)/(n+1)

Где B - это многочлен Бернулли

Соответственно, в нашем случае n=1. Многочлен Бернулли второй степени B_2=x^2-x+1/6. Делим на n+1, получаем Sum x^n = x^2/2-x/2+1/12

Таким образом, натуральная константа интегрирования равна 1/12, а взятая с противоположенным знаком - это сумма Рамануджана.

Так это точка пересечения с осью ординат гладкой функции асимптоты частичных сумм ряда. Грубо говоря, сумма «нуля первых членов ряда» :)

Если нужна «сумма целых положительных», нужно рассматривать противоположный конец этой параболы. :)

То есть, грубо говоря, если f(x)=x, то

F(1)=1

F(2)=1+2

F(3)=1+2+3

и т.д.

После этого инетерполируем эту последовательность по формуле Ньютона, чтобы получить аналитическую функцию F(x), проходящую через эти все точки.

После этого находим интеграл F(x) от 0 до 1. Если он не равен нулю, то находим, сколько надо добавить к F(x), чтобы этот интеграл был равен нулю. Это и есть сумма Раманужана.

Другими словами, это - значение частичной суммы ряда 1+2+3+... в точке 0 исходя из условия, что функция, интерполированная через все значения частичных сумм имела интеграл от 0 до 1 равный нулю (такая функция называется «сбалансированной», многочлены Бернулли - сбалансированные функции).

Именно!

Кстати, для обычного интегрирования тоже существует «наиболее правильная» константа интегрирования, но про неё не рассказывают ни в школе, ни в институте.

про неё не рассказывают ни в школе, ни в институте

Изначально интеграл очень сильно завязан на физическом смысле: площадь (объем) под кривой, сумма пределов,… Что и вылилось в римановский интеграл.

В школе больше и не надо, ну разве Лебега можно факультативно упомянуть. Думаю, детям достаточно весело рассказать, что обозначение Лейбниц ввел от «длинной s», то есть от первой буквы в слове summa, и интеграл — сумма площадей под графиком.

А насколько плотно давать матан в ВУЗе — это больше вопрос к программе по конкретной специальности.

Вот, хоть на место все встало(гуглом воспользоваться все же пришлось, но все же). А то сумма ряда -(1/12)....

Матан изучал, но этот ряд как-то упустил. Было в свое время на парах куча дискуссий по ряду n^(-1).

ТФКП пропустил. На комплексной плоскости и не такие чудеса возможны.

Как связан ТФКП и ряд из натуральных чисел?

Внезапно: ряд из натуральных чисел == ряд из комплексных чисел у которых мнимая часть равна нулю. Кроме того, есть сфера Римана - расширенная комплексная плоскость.

Бред какой-то. А первое апреля еще не скоро, между прочим!