Решить задачу без тригонометрии

Где это ты там степень свободы узрел? Задание углов фиксирует четырехугольник с точностью до масштаба, и рассечь диагональю его можно только единственным образом (ну не считая того, что диагоналей две).

я её решил.

Решить задачу без тригонометрии (комментарий)

Без тригонометрии невозможно решить. «По построению» — говно, а не решение!

Согласен, я криво картинку на листочке нарисовал (у ТСа левый угол 60, а правый 50, а у меня на листочке наоборот). Тогда 50.

Задание углов фиксирует четырехугольник с точностью до масштаба

Наглое 4.2. Нарисуй треугольник и усеки его несколькими параллельными линиями.

а если суммировать углы в замкнутом самопресекающемся многоугольнике, чтобы получить значение x ?

если стороны многоугольника не пересекают друг друга, то сумма углов известна 180*(n-2). а вот если пересекают, то хз... надо подумать.

Как ни крути, получится x+y=110 (y - правый угол в малом треугольнике с x).

50

x=30, y=80

О, я придумал. Нужно дважды предположить, что Х - рандомное число и проверить. Если оба раза все сойдется - значит решения нет. Если не сойдется - значит все проиграли.

Хотя, интуиция подсказывает, что решение таки есть, но его нельзя найти аналитически.

Ответ: True

http://i.imgur.com/loLhZG0.jpg
http://www.wolframalpha.com/input/?i=140-x+(130-(110-x))+20=180

LOL.

У меня аналогичная фигня, только для вектора неизвестных. Расписывал соотношения между всеми углами во всех треугольниках, до которых мог дотянуться, дополнительные построения делал. Ранг матрицы СЛАУ всегда на единицу меньше количества неизвестных. У меня багор уже от этой задачи. Здесь нужно дополнительное построение, которое покажет неочевидную нетривиальную связь между какими-то из углов.

Здесь нужно дополнительное построение, которое покажет неочевидную нетривиальную связь между какими-то из углов.

Что тут неочевидного?

Элементарная задачка.

1. Смотришь на рисунок, и говоришь, сколько всего треугольников ты на нём видишь.

2. Выписываешь все углы, которые находятся через сумму углов. Остаются только два невыражаемых через остальные, один из них искомый.

3. Вспоминаешь пункт первый и составляешь с этими двумя углами два уравнения. В одно из них они должны войти с одинаковыми знаками, а в другое - с разными.

4. ?????

5. 45-градусный профит!

Вопрос — мы построили высоту из K и продолжили AL. Из чего следует уверенность, что треугольник KK'L равнобедренный?

Остаются только два невыражаемых через остальные, один из них искомый.

Невыражаемые? Какой именно угол невыражаемый?

KBK'C — ромб. Его углы B и C равны по 40°, следовательно K' равен (360-40*2)/2 = 140°. Так как BK'K = 70°, а KK'L = 40°, то AK'C = K' - BK'K - KK'L = 140 - 70 - 40 = 30°.

AK'C = x = 30°

Вопрос — мы построили высоту из K и продолжили AL. Из чего следует уверенность, что треугольник KK'L равнобедренный?

Мы можем точно также продолжить KL, BK и AC, они все соединятся в точке A'. Следует это из того, что KBK'C — ромб.

то что KBK'C ромб это хорошо (использование факта что |KC|=|KB| и 20грд углов.

но откуда следует что AL продолженная выйден из ромба именно в точке К' ?

т.е. имхо тут не очевидно откуда KK'L = 40

(то что решение единственно и опеределяется величиной углов(в данном случае 50 и 60) внутрилежащих в равнобедренном треугольнике эт. ясно.

но вот вопрос как не моделироваеним(построением) а вот из условий и аксиом получить величину искомого угла ( ну а потом ещё и подтвердить что тригонометрия осталась непорочной)

возможно пригодится что |AC|=|CL| ?

Из чего следует, что KBK'C — ромб? KB=KC понятно, а как мы узнаем длину оставшихся двух сторон?

(видимо проще где вопрос):

счего луч AL пересекает линию KK' именно в точке K' ?

там высота из К на ВС и востановленно K' т.е ромб построен.

Невыражаемые? Какой именно угол невыражаемый?

Да, не очень правильно выразился. Я просто взял 2 угла из тех, что остались, выразил один через другой - это первое уравнение. И через другой треугольник - второе.

Да, вижу, что перепутал два угла, так как решал в уме. Ты прав, ответ 30.

В общем, неясно одно из двух — либо, если K' построена как вершина ромба, то почему она лежит на продолжении AL, либо, если K' построена как пересечение AL и высоты из точки K, то почему KBK'C является ромбом.

ээээ с чего следует что линии AL AK' совпадают?

ну или из каких треугольников следует что углы 30 и 80 ?

да. именно как обосновать что AL и AK' совпадают ( если К' это 4 вершина ромба построенная по 3 остальным)

в общем случае совпадения углов не может быть т.е если мы вместо угла в 50 при А представим угол 50+z то там тока один(вертикальный угол) тоже будет 50+z . то что при L 4 из 6 углов по 50 частный случай.

Хм, действительно.

Похоже, что Эдик таки прав. Если мысленно изменять углы, указанные в задаче, то искомый угол изменяется не линейно. То есть в общем случае задача без тригонометрии не решается.

Даже если не учитывать, что AL продляется именно до K':

BLK' = ALC = 50°, так как вертикальные углы.

CBK' = 20°

Если представить треугольник с этими двумя углами, то третий угол у него может быть только 110°, и именно в этом случае можно говорить, что AL совпадает с AK', ведь та же величина угла следует из треугольника BK'A.

CBK' = 20°

Откуда?

Даже если не учитывать, что AL продляется именно до K':

BLK' = ALC = 50°, так как вертикальные углы.

Если мы не учитываем, что ALK' - прямая, то почему это вертикальные углы?

Проблема в том, что BLK' и ALC у тебя не являются вертикальными углами до тех пор, пока ты не докажешь, что AL и LK' лежат на одной прямой. Ты же сперва неявно принимаешь, что они лежат на одной прямой (иначе углы не могут являться вертикальными), потом из этого выводишь, что они лежат на одной прямой.

Що хощ

Верхние углы у этого четырехугольника где заданы?

Pythagoras

Хорошо, давайте продлим AL до линии AK', но не будем утверждать, что она доходит именно до точки K'. Мы получили угол, вертикальный к углу ALC. Зная, что он равен 50° и зная, что CBK' равен 20°, можно определённо сказать, что продлённая нами линия образует с линией BK' угол 110° (так как другие два угла в треугольнике равны 50° и 20°).

Далее, соеденим точки A и K' (не будем утверждать, что линия пройдёт через точку L). Из полученного треугольника ABK', угол BK'A равен тем же самым 110°, что значит, что AK' совпадает с LK'.

KBK'C — ромб, а диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Далее, соеденим точки A и K' (не будем утверждать, что линия пройдёт через точку L).

Тогда нам неизвестно, чему равен угол K'AB, потому что по условию нам дан только угол LAB.

продлим AL до линии AK'

BK'?

Из полученного треугольника ABK', угол BK'A равен тем же самым 110°

Почему? Мы не знаем угол BAK'.

Лол. Лучше бы мы решение находили так же дружно и синхронно, как косяки в чужих выкладках.

Тут просто в лоб посчитать не получится без тригонометрии, но числа в задаче подобраны так, что должно быть какое-то чудесное совпадение.

Косяки искать проще)

Убил на нее день давньенько.

Кому интересно, вот тут решение есть - http://zavgar.com/?p=564

KBK'C — ромб

Почему?

Ура, наконец-то я смогу заняться чем-то ещё. Пойду свежую кубунту накачу.

Ну да, ты можешь построить такой ромб, но тогда приведи доказательство, что точки A, L и K' лежат на одной прямой.

Тогда нам неизвестно, чему равен угол K'AB, потому что по условию нам дан только угол LAB.

Хмм... Может и так. Я уверен, что можно доказать, что эти углы равны, но я пока не знаю как это сделать.

Хорошо, тогда по-другому:

Мы строим прямую KM, параллельную AC. Затем, строим прямую AM, которая пересекает KC в точке N. Соединяем N и L.

MAC = KCA = 60°, так как треугольники симметричны.

Также MAC = AMK, так как углы внутренние накрестлежащие.

Таким образом, мы имеем два равносторонних треугольника: KMN и ANC. Так как AC = CL (ACL — равнобедренный треугольник), то и CN = CL, что значит CNL — также равнобедренный. Угол KCM = 20°, следовательно CNL и NLC равны по 80°.

Так как KNM = 60°, а CNL = 80°, то MNL = 40°. AMC также равен 40°, это значит, что треугольник MNL — равнобедренный.

Таким образом, KMLN — Дельтоид, а KL — его биссектриса.

NKL = NKM / 2 = 60/2 = 30°

твой п.3 невыполним т.к. в любом многоугольнике с 2мя искомыми углами при суммировании эти углы будут с одинаковыми знаками. то есть у тебя только одно уравнение для системы. получишь несколько разных уравнений которые дают тебе сумму, а для разницы нет ни одного уравнения.