А есть ли «браузер внутри браузера» на JavaScript?

Вообще есть, названия правда не помню. Но, ИМХО, проще прокси поднять.

Можно поставить виртуалку или контейнер с Xvfb + x11vnc + NoVNC. Если нужен готовый образ - прошу обращаться в личку.

Но, ИМХО, проще прокси поднять.

На тот прокси придётся ходить как-то через корпоративный прокси - непонятно, как. Я думаю, есть реализация VPN поверх HTTP, но это уже хардкор.

Ну, если наружу можно только по хттп, тогда да.

browser.html от Mozilla.

Не хардкор, а очень просто: поднимается ssh на 443м порту (чтобы к нему можно было достучаться через корпоративный прокси), а потом поднимается туннель одной командой (в виде SOCKS-прокси или проброса порта), я уже который год так с работы на всякие там rsync да ftp хожу.

Можно повесть openvpn на 443 порт. Если в настройках прокси разрешён метод CONNECT по https (я не видел прокси, которые бы по дефолту это запрещали), то ты сможешь подключаться к openvpn через корпоративную проксю. В клиенте openvpn есть параметр http-proxy.

На тот прокси придётся ходить как-то через корпоративный прокси - непонятно, как

http://www.delegate.org/delegate/

ЕМНИП, именно так работают всякие PHProxy. Только там не JS.

https://sourceforge.net/projects/poxy/

Реализации (из гугла):
http://www.phproxysite.com/
http://phproxy.work/

А с same-origin policy что собираешься делать? Как бы на чистом js такого не сделать.

Веб-морда для прокси — да, есть.