Неевклидовая геометрия

разве сферическая геометрия является отдельной геометрией со своей отдельной аксиоматекой, а не разделом обычной евклидовой стериометрии?

«геометрия» - это пространство с метрикой. Есть плоское пространство, есть пространство постоянной положительной кривизны (например сфера), и пространство постоянной отрицательной (это как раз то что у Лобачевского).

Давно уже нет никакой «отдельной геометрии» со своими особыми аксиомами, а есть общая теория Римановой кривизны гладких многообразий, и соответственно разных эффектов и примеров которые наблюдаются в «кривых» пространствах, в отличие от такого любимого школьниками седьмого класса плоского варианта.

«геометрия» - это пространство с метрикой.

не только. Это множество кусков пространств с метриками и функциями сшивки. Например, сфера представляется с помощью 2-х кругов, сшитых краями.

Ну это ты придрался к слову «пространство».

А топологическое пространство вообще не обязано быть связным или вложенным в R^n. Так что сшивка кусков таких пространств сама по себе это тоже пространство с метрикой, просто единой глобальной системы координат нет.

Хотя по уму конечно стоило сказать многообразие.

Тоесть геометрия Лобачевского так же является частным случаем Римоновой системы геометрий? Но меня учили, что геометрия задаётся аксиомами. Например в Римановой геометрии (не системе геометрий) аксиома о параллельных прямых не допускает ни одной параллельной прямой, проходящей через точку вне данной прямой.

Натуральные числа тоже аксиомами можно определить, тем не менее они являются частным случаем целых, рациональных, вещественных, комплексных и ещё кучи бог знает каких чисел. Одно другому не мешает.

По-моему сравнение с числами некорректное. Если есть обобщённая геометрия, каков в ней пятый постулат?

Очень даже хорошее сравнение. Как звучат аксиомы Пеано для рациональных чисел? Никак. Становятся ли они от этого менее числами? Не становятся.

Твоя проблема в термине «геометрия».

Ты считаешь что это некий свод правил, и сравнивать надо аксиомы: пятый постулат здесь с пятым постулатом там. А суть не в правилах, а в объекте, который они описывают, в его свойствах. Если я опишу этот объект другим способом, объект никуда не денется и будет тот же.

Как же он будет тот же, когда в неевклидовых геометриях пространство искривлено?