Уравнение плоскости по трем точкам

Потому что это параметр, подставляя который ты получаешь другие точки плоскости.

Точно так же как с уравнением прямой которое учат в 6м классе примерно.

При таком раскладе искривленная неевклидова плоскость получится.

Система решается с точностью до константы, любое уравнение

P*Ax + P*By + P*Cz + P*D = 0, P !=0

Потому что это параметр, подставляя который ты получаешь другие точки плоскости.

ЯННП. Вот уравнение прямой на плоскости: y = kx + c (или как там зовут этот скалар), где k и c — известные числа. Подставляю икс поулчаю игрек. Можно же решить систему из ОП-поста и получить функцию вида z = f(x,y) ?

Мне, в принципе, никто не мешает высосать из пальца x4, y4, z4 (взяв, например, середину отрезка между первой и второй точкой), тогда получится система из 4-х уравнений, тогда я (подстановкой, Гауссом) найду A, B, C и D, после чего смогу написать функцию z = f(x,y)

но делать так — явно не нужно. Вот сижу туплю где я чего не вкурил

Не понимаю что ты этим хочешь сказать. Что я всегда могу умножить обе части уравнения на число не равное нулю и ничего в уравнении не поменяется?

У плоскости нет какого-то одного уравнения, поэтому систему уравнений не решить однозначно.

Именно. Если решишь систему относительно, скажем, A, B и C, увидишь, что они все пропорциональны D. Фиксируешь произвольное D, пусть единицу, считаешь конкретные A, B, C, получаешь уравнение плоскости. Одно из.

Мне, в принципе, никто не мешает высосать из пальца x4, y4, z4 (взяв, например, середину отрезка между первой и второй точкой), тогда получится система из 4-х уравнений, тогда я (подстановкой, Гауссом) найду A, B, C и D, после чего смогу написать функцию z = f(x,y)

Не найдешь. Ранг системы всё равно останется 3, и она будет решаться с одним свободным параметром. Хоть 10 точек возьми.

Если решишь систему относительно, скажем, A, B и C, увидишь, что они все пропорциональны D.

Ниче не понял. Вот я решил систему из трех уравнений и не нашел толко D. Теперь у меня есть A = f(D), B = f(D), C = f(D) где я тут должен увидеть пропорциональность? соответственно, искомую мной формулу z = f(x,y) я могу записать только в виде z = f(x,y,D)

Фиксируешь произвольное D, пусть единицу, считаешь конкретные A, B, C

Допустим.

получаешь уравнение плоскости. Одно из.

Одно из чего? Уравнения с разным D будут описывать разные плоскости. Например при D = 0 плоскость будет пересекать начало координат, а при D = 1 — не будет.

Мне, в принципе, никто не мешает высосать из пальца x4, y4, z4 (взяв, например, середину отрезка между первой и второй точкой), тогда получится система из 4-х уравнений, тогда я (подстановкой, Гауссом) найду A, B, C и D, после чего смогу написать функцию z = f(x,y)

Не найдешь. Ранг системы всё равно останется 3, и она будет решаться с одним свободным параметром. Хоть 10 точек возьми.

Такая мысль логична, но математика говорит другое:

Четыре уравнения, четыре неизвестных, что мне помешает их все найти?

Ты нашёл А,B,C.
Фиксируй какую-нибудь точку, например X0,Y0,Z0 и считай, что она обязана принадлежать плоскости. Подставляешь в уравнение, находишь D.

A = f(D), B = f(D), C = f(D

Должно получиться не просто f(D), а k1*D, k2*D и k3*D.

Четыре уравнения, четыре неизвестных, что мне помешает их все найти?

Погугли про ранг системы уравнений.

Подели свою систему на D и всё. Найдёшь A/D, B/D и С/D. Потом, если очень нужно D - сможешь любое произвольное взять и вычислить соответствующие A,B и С.

Ояеу. Узнай что делает операция векторного произведения.

Уравнений три, а неизвестных четыре. ...здравый смысл (а так же остатки знаний) подсказывает что для описания плоскости достаточно трех.

Ага: уравнения «3 Слонов» однозначно определяют «Плоскую Землю» с точностью до «Черепахи» :)

Если тебя так волнует значение D, то посчитай определитель:

| x1  y1  z1 |
| x2  y2  z2 |
| x3  y3  z3 |

Если он не нулевой, то бери любое не нулевое D (например, D=1) и решай уже определенную систему.

Если он нулевой, то плоскость проходит через начало координат и D=0. Система, естественно, будет не определенной.

А вообще, можешь сразу вычислить один определитель - смешанное произведение векторов.

(r-r1)(r2-r1)(r3-r1)

Привавниваешь его к нулю и готово одно из бесконечного множества уравненией твоей плоскости.

Прямая на плоскости: ay+by+c=0. Чертовщина какая! Точка на прямой: ax+b=0. Ну это уже переходит все границы.

что мне помешает их все найти?

линейная зависимость

Уравнений три, а неизвестных четыре.

Тройка (A, B, C) образует вектор, перпендикулярный плоскости. Можно потребовать, чтобы он был отнормирован, и получить четвертое уравнение: A^2+B^2+C^2=1

Но на практике коэффициенты для уравнения плоскости, если даны три точки, получают посредством векторного произведения.

Точки не должны лежать на одной прямой, используй это условие. Вообще это что-то совсем уж элементарное и гуглится моментально.

ЯННП. Вот уравнение прямой на плоскости: y = kx + c (или как там зовут этот скалар), где k и c — известные числа. Подставляю икс поулчаю игрек.

Уравнение прямой имеет общий вид Ax + By + C = 0.

Привести к виду y = kx + b можно только для случая B != 0 (разделив на -B и перенеся y в другую сторону от знака равенства). Случай B=0 - это вертикальные прямые.

В 3D то же самое. Проверьте по системе что C не 0 и спокойно делите на него.

z(x, y) = -A/C*x - B/C*y - D/C

А так как у вас есть степень свободы при C!=0, положите C= -1

Получается, я систему решить не могу

Нет, не получается.

Теорема Кронекера — Капелли, ftw.

Заметим, что система уравнений, приведенная топикстартером, имеет те же решения, что и система уравнений, полученная из нее путем деления каждого уравнения на D:

  | A/D*x1 + B/D*y1 + C/D*z1 + 1 = 0
 {  A/D*x2 + B/D*y2 + C/D*z2 + 1 = 0
  | A/D*x3 + B/D*y3 + C/D*z3 + 1 = 0

плюс решения (если они есть) с D=0 (проверить, что в таком случае - задача читателю).

Назовем E=A/D, F=B/D, C/D. Получаем систему уравнения с 3 неизвестными:

  | E*x1 + F*y1 + G*z1 + 1 = 0
 {  E*x2 + F*y2 + G*z2 + 1 = 0
  | E*x3 + F*y3 + G*z3 + 1 = 0

Пример с D=0 плохой, потому что при таком D все будет не так, как при других вариантах D. Вот при D=2 и D=4 есть решения, да. Но они будут описывать одну и ту же плоскость. Просто будет Ax + By + Cz + 4 = 0 или Ax/2 + By/2 + Cz/2 + 2 = 0

Есть бесконечное множество одинаковых, паралельных друг к другу плоскостей. По этому D — неопределен. D указывает на смещение твоей плоскости относительно нуля.

Этот тред чем дальше тем веселее.

Это через три фиксированные точки ты множество «одинаковых» плоскостей провел?

А что такое «неодинаковые» плоскости?

Вот посиди и подумай.

Плоскость задаётся перпендикуляром к ней и расстоянием от плоскости до точки ноль в единицах, равных один делить на длину этого перпендикуляра. Перпендикуляр получается через векторное произведение

| x-x1  x2-x1  x3-x1 |
| y-y1  y2-y1  y3-y1 | = 0
| z-z1  z2-z1  z3-z1 |

То есть классическое смешанное произведение компланарных векторов. Раскрываешь определитель по первому столбцу и получаешь свою формулу.

Зашёл в тред, чтобы написать про смешанное произведение. Но обнаружил, что ТС тупит неподецки.

Бред. Через три точки в общем положении проходит одна плоскость.

Но обнаружил, что ТС тупит неподецки.

Тема из разряда «зачем программисту математика?»

Дели на D, находи коэффициенты, потом подставишь обратно в уравнение плоскости. Э... ну все. Школа же. А то и институт, первый курс.

Дели на D

Вот только D может оказаться равным нулю. Как и любой другой коэффициент.

Есть такая возможность, да.

Ax + By + Cz + D = 0
Уравнений три, а неизвестных четыре

Вы внесли одно ненужное неизвестное ) Плоскость описывается уравнением аx + by + cz = 1 )

Плоскость описывается уравнением аx + by + cz = 1 )

Опиши этим уравнением любую плоскость, проходящую через начало координат. Удачи.

Это не повод чтобы вносить лишнее неизвестное ) Тем более, что для плоскости, проходящей через начало координат, член D отсутствует, и вопрос отпадает сам по себе )

Правильно было бы предложить выяснить сперва, а не равен ли D нулю, а потом принять его равным произвольному числу и рассчитать остальные.

Но такой ответ уже был.

что только люди не делают, лишь бы векторное произведение не брать.

Да не имеет значения. Все равно ТС выдумал четыре неизвестных

Система уравнений описывает плоскость. Всё правильно.

Тебе что нужно найти?

Все верно говорите. Взял бумажку, нарисовал три оси, придумал три точки. Составил систему, взял от балды D, выразил z = f(x,y), потом от балды придумал другое D, снова решил, снова выразил z = f(x,y) и получилась та же формула, что ободрило.

Пригляделся, а уравнения-то отличаются, как и было предсказано, только множителем, то есть — по сути это одно уравнение.

Остались странные ощущения... диссонансом это называют. Я такого не припомню, а на опыте все сходится.

Ну, шо я могу сказать, практика — критерий истины.

У плоскости нет какого-то одного уравнения, поэтому систему уравнений не решить однозначно.

Так они все множителем отличаются — это одно уравнение. Что, по-твоему x + 1 = 0 и 2x + 2 = 0 — это разные уравнения что ли?

Не найдешь. Ранг системы всё равно останется 3, и она будет решаться с одним свободным параметром. Хоть 10 точек возьми.

Я проверил )

Погугли про ранг системы уравнений.

Да. Вспомнил уже. Спасибо

Прямая на плоскости: ay+by+c=0

да, спасибо

что мне помешает их все найти?

линейная зависимость

да, меня уже тыкали в это. Я не поверил, проверил, утерся.

Математика — суровая вещь. )

В 3D то же самое. Проверьте по системе что C не 0 и спокойно делите на него.

А как я проверю что С — не ноль, если я его не знаю? )

В итоге я проверяю не ноль ли D. (подставляю x=0,y=0,z=0) потом уже придумываю D. Потом вычисляю коэффициэнты и уже смотрю на С.