будем считать, что понял :)

Дык последняя матрица хоть та? ;-)

Вообще теперь если совсем формально, то M — это отображение из пространства полиномов в пространство R^3. M — просто берет коеффициенты полиномов и пакует их в вектор R^3.

То есть операцию интегрирования Int: V -> W ты по сути заменил цепочкой отображений

M A M^{-1}
V ---> R^3 ----> R^4 --------> W

Это еще не совсем формально. Потому что в твоем случае M вначале действует в R³, а потом из R⁴ в W. Это не совсем верно. Поэтому чтобы совсем формально, надо отдельно определить оператор из V в R³ и из R⁴ в W.

Можно еще не мудрствовать лукаво, определить M как V->R³, и использовать его же при обратном отображении, если V=W. Но тогда надо матрицу 3x3 сделать.

Дык последняя матрица хоть та? ;-)

да

Поэтому чтобы совсем формально, надо отдельно определить оператор из V в R³

Снова в матричной форме?

Да из всего вышеизложенного я могу заключить,

что при начальном упрощенном подходе к задаче с биективностью тут есть проблемы.

Но тогда надо матрицу 3x3 сделать.

Хм, вот тут не совсем понял,

а что тогда делать с константой интегрирования?

Или тупо взять другой базис?

Поэтому чтобы совсем формально, надо отдельно определить оператор из V в R³

Снова в матричной форме?

нет. Какие же там матрицы, обычные матрицы только из R^n в R^m умеют. Отображение из V в R^3 определяем или

1) «на пальцах», говоря что просто берем коэффициенты полинома и вставляем в вектор.

Или 2) с помощью производных выуживаем коэффициенты из полинома и опять же запихиваем в вектор.

Да из всего вышеизложенного я могу заключить,

что при начальном упрощенном подходе к задаче с биективностью тут есть проблемы.

Биективность конечно не всегда дана, но в данном случае можно выбрать пространство W так, чтобы она была.

Но тогда надо матрицу 3x3 сделать.

Хм, вот тут не совсем понял,

а что тогда делать с константой интегрирования?

с константой уже раньше разобрались, если помнишь.

Или тупо взять другой базис?

подумай какой.

но это не точно

подумай какой

{1, 2x, 3x^2}

Это первое, что пришло в голову.

ок. И как в этом базисе представить результат применения интегрирования на полином 1+x^2?

Подумаю и чуть позже отпишу.

Т.е. я имел ввиду базис выше для пространства V, а для W

{x, x^2, x^3}

теперь норм, да. Базис V кстати совершенно не обязан быть производными от базиса W.

Просто не успел исправить сообщение, что базис {1, 2x, 3x^2} это базис «первого» пространства V

Теперь должно получится за один присест, я полагаю)

Базис V кстати совершенно не обязан быть производными от базиса W.

Но в данном случае именно такой выбор базиса делает жизнь проще, не?

Но в данном случае именно такой выбор базиса делает жизнь проще, не?

ну, да. Матрица красивее :) Кстати, как она выглядит?

Матрица красивее :)

Единичная матрица, я так думаю...

молодец :)

А теперь для закрепления материала возьми в качестве пространства V={sin x, cos x}. То есть пространство функций вида Asin x + Bcos x.

ок, чуть позднее вернусь к этой теме, лишь бы такими пространствами к функану не съехать :-) Шутка.

А размерность пространства до беконечности увеличь и ты уже в функане :)

Смотри, назад дороги нет!

Вот я и думаю, чтобы не было как у классиков: «Не просочиться бы в канализацию функциональный анализ».

А то ведь будет похлеще vim'а :-)

Ну у меня такой опыт есть: я пробовал из теорфизики в прикладную математику перебраться. Результат вышел не очень, но функан (и теория множеств), засели в голове насовсем.

не бойся функана. Рано или поздно он тебя настигнет %) И лучше встретить его во всеоружии!

ОК. Подводя итог всему вышесказанному по теме, можно сделать такой вывод: по большому счёту, нам не важна природа самих объектов в линейном пространстве.

Главное, чтобы мы действовали из линейного пространства в линейное пространство и у нас были определены базисы, которые будут нам удобны в зависимости от линейного оператора, заданного на этих базисах.

И о тригонометрических функциях из твоего сообщения выше, по-быстрому хочется написать такую матрицу перехода — {{-1, 0},{0, 1}}.

Просто не факт, что я прав. Но, если мы работаем только с координатами объектов, абстрагируясь при этом от их аналитической природы, должно быть нечто похожее))

ОК. Подводя итог всему вышесказанному по теме, можно сделать такой вывод: по большому счёту, нам не важна природа самих объектов в линейном пространстве.

Главное, чтобы мы действовали из линейного пространства в линейное пространство и у нас были определены базисы, которые будут нам удобны в зависимости от линейного оператора, заданного на этих пространствах.

да.

И о тригонометрических функциях из твоего сообщения выше, по-быстрому хочется написать такую матрицу перехода — {{-1, 0},{0, 1}}.

А это смотря какой базис в W :) Если W=V и базис такой же как и в V (sinx cosx), то не верно.

Я исходил из того, что наш оператор L продолжает добросовестно интегрировать, следовательно в W у нас будет базис (-cosx, sinx), но это трёп.

Основательно я над этим не думал ;-)

базис может быть любым. При W=Lin{cos x, -sin x} матрица будет единичной. При W=Lin{sin x, cos x} есессно другой.

При W=Lin{cos x, -sin x}

Ты имел ввиду при {-cos x, sin x}? Мы же вроде первообразную берём?

Где наш {-cos x, sin x} наш специально выбранный базис в W

Хотя значительно более важный вопрос, а решаемая ли задача в принципе, если базис не подбирать специально (т.е. меня смущают тригонометрические функции, но это пройдёт)?

Нам же нужно получить матрицу перехода, а не матрицу, где элементы это функция от входных данных. Это да :-)

P.S. Но, возможно, я устал от темы и несу пургу :-)

Ты имел ввиду при {-cos x, sin x}? Мы же вроде первообразную берём?

да, че-то с производной попутал :)

Хотя значительно более важный вопрос, а решаемая ли задача в принципе, если базис не подбирать специально (т.е. меня смущают тригонометрические функции, но это пройдёт)?

правильный вопрос. Так вот, задача в принципе всегда решаемая, если ты покажешь, что (нужное тебе) пространство V линейное (и может быть даже конечной размерности).

Есть теорема, которая говорит, что в линейном (конечномерном) пространстве существует базис.

Нам же нужно получить матрицу перехода, а не матрицу, где элементы это функция от входных данных. Это да :-)

немного не понял вопроса.

немного не понял вопроса.

Вот это случай вышеупомянутой пурги.

Просто меня смущает вот какой момент.

Стукнуло нам в голову и у нас в V базис {{1, 0},{0, 1}}, а в W {{sin x, 0}, {0, cos x}}

Вот сижу и думаю, как нам найти коэффициенты в таком неудобном случае.

Взяли и чисто по-славянски создали себе проблему, чтобы ее решать :-)

Стукнуло нам в голову и у нас в V базис {{1, 0},{0, 1}}, а в W {{sin x, 0}, {0, cos x}}

V — это пространство R^2, а W — это пространство функций.

Определи сначала отображение из R^2 в W.

Что это за отображение L? Чему равно L({1, 0})?

Не, теперь я точно путаю координаты вектора {sin x, cos x} в базисе и сам базис.

А если развивать эту бредовую мысль дальше, тогда L({1,0}) = {-cos x,0}.

Но пока это выглядит как бред, посмотрю на это утром :-)

Т.е., чтобы хоть как-то поставить это на рельсы здравого смысла нам нужно 2 разных отображения.

В любом случае спасибо за интерес к теме и помощь в поиске правильных ответов.

наблюдение

И еще немного в тему обсуждения.

Что я заметил.

Когда мы рассматриваем линейный оператор, данный оператор действует из пространства V в пространство W, но базис как правило фиксированный, один и тот же.

Напротив — матрица перехода, как правило действует из базиса в базис, но пространство фиксировано.

Совпадение? Не думаю :-)

Т.е.,как обычно, в каждом конкретном случае мы рассматриваем только те свойства математических объектов, которые полезны для решения задачи и элиминируем остальные.

В части линейной алгебры верное наблюдение, не?

Напротив — матрица перехода, как правило действует из базиса в базис, но пространство фиксировано.

Совпадение? Не думаю :-)

Если ты имеешь в виду, что пространство фиксировано в том плане, что всегда R^n, то да.

Т.е.,как обычно, в каждом конкретном случае мы рассматриваем только те свойства математических объектов, которые полезны для решения задачи и элиминируем остальные.
В части линейной алгебры верное наблюдение, не?

Ой, боюсь отвечать на такие философские вопросы %)

ОК)