>Для начала нужно понять, откуда там вообще будут колебания.

из задачки по ссылке выше этой «толкнули»

никаких колебаний там не будет - при любом отклонении от горизонтали брусок соскользнет, т.к. отсутствует трение

из задачки по ссылке выше этой «толкнули»

То что толкнули - это понятно, непонятно почему брусок сразу не соскользнет.

никаких колебаний там не будет - при любом отклонении от горизонтали брусок соскользнет, т.к. отсутствует трение

Ну утверждается, что будут. Если есть физическое доказательство, что соскользнет, то хочется его увидеть.

> То что толкнули - это понятно, непонятно почему брусок сразу не соскользнет.

трения нет, брусок толстый. значит, как я вижу, толкать можно немного в разные стороны с разными последствиями.
после обеда попробую что-нибудь подумать, интересная задачка.

Если предположить, что не соскользнет, то колебания считаются элементарно (через момент инерции бруска).

Имхо раз нету трения, то запас устойчивости системы равено нулю, и при любом возмущении она развалится, и никаких колебаний не будет.

Плохо прочитал условие. Сейчас посмотрел по ссылке: не будет никаких колебаний - ни в первом, ни во втором случае.

пишешь функцию Лагранжа, раскладываешь её в ряд в минимуме потенциальной энергии, делаешь замену sqrt(g/l)=w

система не устойчива - автоколебаний не будет

Зачем? В первом случае на оба конца палочки всегда действуют равные моменты - колебаться она никак не будет (только, разве что, под воздействием периодической вынуждающей силы). Во втором случае при небольшом смещении бруска на его нижнюю часть будет действовать момент, больший, чем на верхнюю, а т.к. трения нет, брусок просто соскользнет с опоры.

дык если не устойчива, потенциальная энергия в максимуме, то вобще колебательного движения не будет

> В первом случае на оба конца палочки всегда действуют равные моменты

правда?

У такой системы две степени свободы — угол наклона бруска относительно горизонтали / вертикали и смещение точки подвеса вдоль ребра. Можно поставить его вот так: http://i49.tinypic.com/flh4ly.png . В этом случае, будет действовать момент силы вращающий его против часовой стрелки, и брусок будет проскальзывать вниз, в отсутсвии силы трения. Если подобрать, угол и смещение таким образом, чтобы они менялись на противоположные по знаку одновременно — будут колебания, как мне кажется. А по-честному — да, надо Лагрнжиан строить :-)

> дык если не устойчива, потенциальная энергия в максимуме

брусок пихают. вы не забыли пихнуть брусок?

Опять не подумав ляпнул: опора-то в первом случае с большим диаметром, соответственно, при малых смещениях палочки точка ее опоры будет смещаться, и верхний край получится более длинным - т.е. автоколебания, все-таки, получатся.

во, у меня такая же идея поселилась в голове. только вот я понял, чтобы дальше продвинуться, мне бы какой-нибудь учебничек полистать, забыл я все.

Все равно на нижнюю часть при малом смещении бруска будет действовать больший момент, чем на верхнюю, и брусок соскользнет с опоры.

Слева масса больше.

И плечо длиннее.

Соскользнет.

Да, что-то я вторую степень свободы не учёл. Тогда похоже система будет безразлично устойчивой при каком-то определённом отношении угла к смещению, ибо таких углов и смещений может быть бесконечно много. И будут незатухающие колебания.

Понятно, что соскользнёт. Только вот ещё и повернётся. Вопрос в том, как нужно поставить, чтобы после соскальзывания и поворота система оказалась в симметричном положении.

>круглом бревне

Эт как?

>брусок длины 2L

Что бы пиписька уже в условии была в два раза длиньше

Ответ

\omega = \sqrt{ \frac{ mL^2g }{ 3dI_0 } }

Где за I_0 я принял момент инерции при вращении относительно середины ребра.

Я думаю будет так: K = h/l, где K - коэф. (возможно K=const) при котором будут колебания (зависит от массы и формы бруска, радиуса бревна итд.), h - высота, на которую поднимаем один край бруска, l - расстояние от центра бруска, на которе его сдвигаем. Далее потенциальная энергия при поднятом на h крае будет равна кинетической при горизонтальном бруске, после того, как его отпустили, отсюда найдём скорость, из скорости найдём время, за которое он проезжает l, и это будет 1/4 от времени, за которое он совершает полное колебание.

> никаких колебаний там не будет - при любом отклонении от горизонтали брусок соскользнет, т.к. отсутствует трение

Именно потому, что нет никакого трения, никто никуда не соскользнёт, так как центр масс останется на месте.

Годная задача для студента 1 курса по теме Механика.

> Все равно на нижнюю часть при малом смещении бруска будет действовать больший момент, чем на верхнюю, и брусок соскользнет с опоры.

Центр масс останется на месте, так как нет внешних сил. Равновесие конечно не устойчивое, но всё же равновесие.

> Я думаю будет так:

Читаем что-нибудь на тему Момент инерции.

> так как центр масс останется на месте.

На месте в смысле, что он не сдвигается ни вправо, ни влево, а только ходит вверх вниз. А вот точка соприкосновения бруска с осью меняется.

>Именно потому, что нет никакого трения, никто никуда не соскользнёт, так как центр масс останется на месте.

А как же тот факт, что брусок при наклоне перекатывается по бревну, ибо оно кругое, а не плоское?

млин, вторая степень свободы...

Оно пренебрежимо маленькое, поэтому можно считать, что место контакта - всегда одна точка.

Думается, что именно будт происходить понятно всем. Решение кто-нибудь напишет? :)

сказано, что будут колебания => минимум потенциальной энергии => система вернёться в етот минимум(потожение равновесия)

>>Оно пренебрежимо маленькое, поэтому можно считать, что место контакта - всегда одна точка.

колебания итак малы(в окрестности точки)

тут же не точки колебляться, может нада расмвтривать колебания мембраны(токо ни начальные ни граничные условие не даны)

> А как же тот факт, что брусок при наклоне перекатывается по бревну, ибо оно кругое, а не плоское?

Смещается точка соприкосновения бревна с бруском, а центр масс просто меняет высоту. Чтобы сместить центр масс в сторону нужны внешние силы.

> Думается, что именно будт происходить понятно всем. Решение кто-нибудь напишет? :)

В том-то и фишка, что не всем. Так что написание решения выглядело бы непедагогично. :D

вот такая по моему функция Лагранжа

http://itmages.ru/image/view/37644/3c2fd434

>Смещается точка соприкосновения бревна с бруском, а центр масс просто меняет высоту.

Любопытно, а если перекатить брусок вокруг бревна, центр масс тоже не сместится?

Любопытно, а если перекатить брусок вокруг бревна, центр масс тоже не сместится?

Если силы трения нет, то не выйдет :) Для того, чтобы точка касания была под углом в 90 градусов к положению равновесия, необходимо затратить бесконечное количество энергии.

\phi=0 в положении равновесия?

Для проверки: при \phi=90 потенциальная энергия должна обращаться в бесконечность.

Пригляделся повнимательней и не нашёл \dot{\phi} Что, неужто от скорости ничего не зависит? Странный какой-то Лагранжиан.

>Если силы трения нет, то не выйдет :) Для того, чтобы точка касания была под углом в 90 градусов к положению равновесия, необходимо затратить бесконечное количество энергии.

OMFG как? почему??

Но в любом случае, если представить, что мы перекатили брусок на 90 градусов, то получим, что его центр масс сместится на радиус бревна в сторону от оси бревна, а не только поднимется вверх. Не означает ли это, что центр масс смещается в сторону и при сколь угодно малом перекатывании?

Брусок по бревну _елозит_ так, чтобы центр масс не смещался. КО. Сил трения ведь нет.

>Брусок по бревну _елозит_ так, чтобы центр масс не смещался

Предположим брусок находится в уравновешенном состоянии. Мы прикладываем силу к левому краю, перпендикулярно бруску. Брусок начинает перекатываться по бревну, левый край опускается, центр масс должен отправится вверх и влево по параболе. Чтобы центр масс остался над осью бревна надо сдвинуть брусок вправо. Откуда возьмётся сила, двигающая брусок вправо?

Или там изначально надо силу, расшатывающую брусок, прикладывать не перпендикулярно, а под хитрым углом?

Перекатываемся мы _только_ потому, что есть _сила_ трения.

Чтобы центр масс остался над осью бревна надо сдвинуть брусок вправо. Откуда возьмётся сила, двигающая брусок вправо?

«Сдвиг бруска» = «сдвиг центра масс» То есть если центр масс не двигается, то и брусок не двигается :)

http://i46.tinypic.com/axdzyg.png

Как-то так.

Это честный Лагранжиан или уже в приближении малых колебаний? Если честный, то для \phi=90^{\circ} потенциальная энергия должна убегать в бесконечность.

А вот r_0 можно выкинуть сразу же.