Порешаем задачки

Это честный. Я вот не могу понять, почему энергия должна разрыв иметь в \varphi = 90^{\circ}.

А вы нарисуйте где должен находится центр масс (на какой высоте), при условии, что он не сдвигается в сторону, если брусок стоит почти вертикально :)

А, вы об этом. Дело в том, что условие на центр масс я не вводил. Не уверен, что оно нужно, чтобы описать общий случай.

А причём здесь это? Если ЦМ находится на бесконечной высоте, то очевиден разрыв шаблона :)

>Для начала нужно понять, откуда там вообще будут колебания.

Ну для начала нужно рассмотреть ситуацию с конечными l,r,d с разложением по степеням r. Если там будет нулевой член, то он и будет ответом.

Рассмотрим перекатывание бревна на угол \phi от вертикали. Интересовать должны проекции точки касания, центра тяжести бруска и центра бревна.

Если центр тяжести бруска лежит ближе к центру бревна чем точка касания, то он будет перекатываться назад и будут колебания. Если наоборот, то он укатиться и упаадет. Для понимания картины нужно искать пограничный случай (когда центр тяжести проецируется точно на точку касания).

Уравнения для этого tg \phi = (2r/d)*\phi

Если 2r/d <= 1 то прямая пересекает график тангенса в одной точке. Дело плохо. Колебания возможны только когда брусок тоньше бревна. Задача не корректна.

> Рассмотрим перекатывание бревна на угол \phi от вертикали. Интересовать должны проекции точки касания, центра тяжести бруска и центра бревна.

Бревно _не_ перекатывается, оно _елозит_. Для перекатывания нужна сила трения, а так со стороны бревна вклад только в момент импульса.

В общем случае, системе положить на центр масс. Если \phi = \pi / 2 — всё в порядке, никаких бесконечностей, брусок просто падает и на точку опоры не обращает внимания. Тогда уравнение на r_0 становится очевидным — m\ddot{r_0} = 0. Если мы начинаем рассуждать о центре масс, то надо, конечно, вводить условие связи. В данном случае, r_0 tg( pi/2 - phi ).

Вы не сможете организовать \phi=\pi/2 без сил трения или горизонтальной внешней силы. Вам потребуется закачать в систему бесконечную энергию.

>запас устойчивости системы равено нулю, и при любом возмущении она развалится, и никаких колебаний не будет.

+1000

> Имхо раз нету трения, то запас устойчивости системы равено нулю, и при любом возмущении она развалится, и никаких колебаний не будет.

Не при любых. Только при горизонтальных.

P.S. Вообще-то такая ситуация бывает всегда, если нет сил трения :)

Контрпример: шарик в потенциальной яме.

Хинт: система находится в состоянии устойчивого равновесия, если при выведении из него возникает возвращающая сила.

В данном случае положение равновесия явно неустойчивое. Более того, задача явно надумана - раз уж бревно 0 радиуса, то балка просто лежит на земле (ну или что на чём там лежит бревно)

> Более того, задача явно надумана - раз уж бревно 0 радиуса, то балка просто лежит на земле (ну или что на чём там лежит бревно)

Не надуманную реальную задачу в чистом виде вы просто не решите аналитически, так дифференциальные уравнения будут сильно нелинейные.

Но, наверняка есть реальные примеры, где это приближение вполне работает с какой-то точностью.

Контрпример: шарик в потенциальной яме.

Если вы нарисуете потенциальную энергию в зависимости от угла отклонения, то с удивлением обнаружите, что здесь тоже имеется потенциальная яма. Потенциальные ямы именно так и возникают.

> Если вы нарисуете потенциальную энергию в зависимости от угла отклонения, то с удивлением обнаружите, что здесь тоже имеется потенциальная яма.

Если балку тупо выводить из положения равновесия, меняя только угол - она соскользнёт с бревна.

Яму тут можно найти, только если одновременно отклонять доску на некоторый угол и смещать центр масс относительно опоры. Тогда, возможно, будет иметь смысл говорить о колебаниях. Однако, подобное смещение от случайного внешнего воздействия крайне маловероятно.

Но, наверняка есть реальные примеры, где это приближение вполне работает с какой-то точностью.

Чтобы на закрепленную опору 0 радиуса, без какого-либо крепления в отсутствие силы трения положили такую балку... Наверное, это реалити-шоу «угадай, кого первым стукнет по башке упавшая балка» ;)

> Если балку тупо выводить из положения равновесия, меняя только угол - она соскользнёт с бревна.

Нет, так как нет сил трения. Перечитайте тред.

Чтобы на закрепленную опору 0 радиуса, без какого-либо крепления в отсутствие силы трения положили такую балку... Наверное, это реалити-шоу «угадай, кого первым стукнет по башке упавшая балка» ;)

Ну считайте не нулевого, а очень маленького. В сто раз меньше геометрических размеров балки. Ошибётесь весьма мало - на процент в самом худшем случае. Вы будете смеяться, но точных задач никто не решает.

Центр масс останется на месте, так как нет внешних сил. Равновесие конечно не устойчивое, но всё же равновесие.

Ты что-то путаешь. Если равновесие неустойчивое, то колебаний не будет. Колебания могут быть только вокруг точек устойчивого равновесия. (если это конечно не вынужденные колебания)

> Нет, так как нет сил трения. Перечитайте тред.

При чём тут сила трения? На балку действует сила реакции опоры и сила тяжести. Поворачиваем балку на угол fi - сила реакции опоры поворачивается на тот же угол в ту же сторону - возникает нескомпенсированная горизонтальная проекция, которая сталкивает балку с бревна. Момент сил будет либо равен 0, либо малым, но всё равно помогающим балке соскользнуть (зависит от твоей точки зрения на точку опоры).

> Ты что-то путаешь. Если равновесие неустойчивое, то колебаний не будет. Колебания могут быть только вокруг точек устойчивого равновесия. (если это конечно не вынужденные колебания)

Нет не путаю. Перечитайте тред - я уже объяснял почему раза два.

>> Нет, так как нет сил трения. Перечитайте тред.

При чём тут сила трения? На балку действует сила реакции опоры и сила тяжести.

Сила реакции опоры даёт вклад только в момент импульса, но не в импульс. В импульс могла быть дать вклад сила трения, но её нет. Такие вот дела.

Ах да. Мы ведь говорим про механику не точечного тела и для простоты разделяем движение тела на движение ЦМ и вращения тела вокруг ЦМ.

>>Если равновесие неустойчивое, то колебаний не будет.

Если изначально выполняется условие расположения центра масс ровно над точкой опоры, то возникнут колебания с частотой w = sqrt(mgD/I). I - момент инерции бруса относительно центра масс. Это довольно просто решается, я не поленился посидеть с карандашом. Пишется лагранжиан, раскладывается по степеням a и 2r/D из него получаются уравнения движения.

Одно из них - это a = 2r/D + C_1*t +C_2

И если изначально a = 2r/D (центр масс над точной опоры), то это соотношение будет сохраняться и впредь.

a - угол отколнения от горизонтали. r - величина сдвига точки опоры от середины бруса.

> Пишется лагранжиан

Есть особенность при угле отклонения в 90 градусов?

Нет не путаю. Перечитайте тред - я уже объяснял почему раза два.

Это как бы определение. Вторая производная потенциала > 0, первая = 0 => устойчивое равновесия, и колебание могут быть. А иначе нет.

> Это как бы определение. Вторая производная потенциала > 0, первая = 0 => устойчивое равновесия, и колебание могут быть. А иначе нет.

Не совсем естественно определение, но примерно так в этой задаче оно и есть.

P.S. Вообще-то могут быть и ангармонические колебания.

>>Вторая производная потенциала > 0, первая = 0 => устойчивое равновесия, и колебание могут быть. А иначе нет.

Твоя проблема в том, что ты рассматриваешь одномерную задачу. А здесь _две_ обобщенные координаты, и имеется _поверхность_ потенциальной энергии. Если эту поверхность разрезать вертикально плоскостью a = 2r/D, то на срезе получится квадратичная по малому параметру a зависимость.

Никто не утверждает, что произвольное смещение не выведет необратимо из равновесия систему. Но те смещения, которые удовлетворяют a = 2r/D, создадут колебания.

> А здесь _две_ обобщенные координаты

Вообще-то одна :) , если мы про задачу.

Не совсем естественно определение, но примерно так в этой задаче оно и есть.

P.S. Вообще-то могут быть и ангармонические колебания.

Пардон. Конечно речь шла о малых гармонических колебаниях (тогда именно определение, сформулированное математически). Не надо тут усложнять сферического коня, при условии что вокруг все равно вакуум.

Я просто к словам придрался. А так истину глаголешь.

>>Вообще-то одна :) , если мы про задачу.

Так это сначала по-честному получить надо. Кому-то может показаться неочевидным, что центр масс не должен сдвигаться по горизонтали.

>>Есть особенность при угле отклонения в 90 градусов?

У потенциальной энергии? Да, тангенс же.

>Бревно _не_ перекатывается, оно _елозит_. Для перекатывания нужна сила трения, а так со стороны бревна вклад только в момент импульса.

Извиняюсь, не бревно а брусок. Бревно закреплено. И да, если пренебречь не только трением качения, но и скольжения, картина будет другой.

Имеется 2 степени свододы. За обобщенные координаты можно взять угол
отклонения бруска от вертикали (\phi) и расстояние от центра бревна до
точки касания (x)

Положения центра тяжести

c*(-sin \phi, cos \phi) + x * (cos \phi, sin \phi)

где с = d/2 + r

(v1, v2) - вектор с координатами v1, v2

U/mg = -c/2+x*\phi

U - понетциальная энергия.

скорось центра тяжести

v = -c (cos \phi, sin \phi) * \phi' + x'*(cos \phi, sin \phi) + x*\phi'*(-sin \phi, cos \phi)

штрих - дифференцирование по времени.

abs (v)^2 = (x'-c*\phi')^2+(x*\phi')^2

T/m = (J/2m + c^2 + x^2)*\phi'^2-c*x'*\phi'+x'^2/2
здесь нужно брать x = 0, обозначим J/2m+c^2 = f
J - момент инерции бруска.

Т - кинетическая энергия

Записываем формы потенциальной и кинетической энергии в матричной форме (для удобства домножив на 2) и исчем собственные числа

H = g *(-c, 1; 1, 0) = -(g*c, g; g, 0)

(v11, v12; v21, v22) - матрица.

\lambda G = \lambda (2f, -c; -c 1) =
(\lambda*2*f, -\lambda*c;
-\lambda*c, \lambda)

det (H-\lambda G) = (-gc-\lambda*2*f)(-\lambda)-(g+\lambda*c)^2=
=(2*f-c)*lambda^2-lambda*g*c-g^2 = 0;

откуда.

lambda = g*(c +- sqrt (c^2+4*(2*f-c^2)))/2(2*f-c^2);

2f-c^2 = J/m + b^2;

Отсюда видно, что по одному направлению будет неустойчивость, по другому - колебания с периодом

2*pi/sqrt ((d/2 + sqrt (J/m+5(d/2)^2))/2(J/m+(d/2)^2)).

Только это не более чем математическая заковырка. Движение все равно не устойчиво. При малейшей флуктуации брусок уйдет из области применимости линейного приближения.

ээээ...что справа за «L», ?

как это не зависит, там у меня производная по времени в кинетической энергии

> Конечно речь шла о малых гармонических колебаниях

Даже малые колебания могут быть ангармоническими :)

> Так это сначала по-честному получить надо. Кому-то может показаться неочевидным, что центр масс не должен сдвигаться по горизонтали.

То, что ЦМ не сдвигается по горизонтали - так это закон сохранения импульса. Вообще-то это даже школьнику должно быть понятно, но видно что не каждому :D

> Да, тангенс же.

А разве не 1/\cos\phi?

Эээ потерялся в первой строчке. Положение ЦМ (0,d/2\cos\phi), где \phi=0 при положении равновесия, d - толщина бруска.

> как это не зависит, там у меня производная по времени в кинетической энергии

Я догадываюсь где, но на картинке не увидел :)

>>То, что ЦМ не сдвигается по горизонтали - так это закон сохранения импульса. Вообще-то это даже школьнику должно быть понятно, но видно что не каждому

Чего? Нихрена он не сохраняется. Если бы он сохранялся то брусок не cмог бы свалиться ни при каком достаточно малом угле при нулевом смещении.

Он сохраняется только при изначальном расположении ЦМ прямо над опорой.

Поэтому горизонтальную неподвижность центра масс такими рассуждениями без расписания лагранжиана не получить.

Поэтому горизонтальную неподвижность центра масс такими рассуждениями без расписания лагранжиана не получить.

Достаточно того, что произведения всех сил на рычаг и на косинус угла между ними равна нулю. Это можно и без Лагранжиана понять.

P.S. Лагранжиан никакой физики не добавляет - он просто удобен, так как уравнения Лагранжа не зависит от выбранной системы координат и всё.

Кроме mg естественно, которая считается приложенной к ЦМ непосредственно, а все силы здесь - это реакция опоры со стороны брёвнышка на брусок.

>>А разве не 1/\cos\phi?

Смотря о чем речь. Нужная высота - 1/cos, нужное смещение - tan.

>>Достаточно того, что произведения всех сил на рычаг и на косинус угла между ними равна нулю. Это можно и без Лагранжиана понять.

Отсюда не видно, почему должна сохраняться нулевой горизонтальная координата ЦМ при _искомом_ периодическом движении. На этом этапе ещё нельзя исключить, чтобы он описывал некую, например, восьмерку, почему бы и нет. Она исключается именно интегрированием уравнения движения.

вот там где квадраты)) ето по размерностям видно

> Смотря о чем речь. Нужная высота - 1/cos, нужное смещение - tan.

Видимо я что-то не понял. Смещение по горизонтали \sin, а \tg как-то ни к селу ни к городу.

>>Достаточно того, что произведения всех сил на рычаг и на косинус угла между ними равна нулю. Это можно и без Лагранжиана понять.

Отсюда не видно, почему должна сохраняться нулевой горизонтальная координата ЦМ при _искомом_ периодическом движении.

Ещё раз: реакция опоры действует перпендикулярно рычагу из ЦМ, то есть меняет только _момент_ импульса, но не _сам_ импульс. Импульс сохраняется, а так как импульс по горизонтали в начале был нулевой, то ЦМ по горизонтали не движется. Чтобы понять это Лагранжиан не нужен.

Это-то понятно, но Лагранжиан всё равно не правильный, да и не колебание он описывает :)

>>Ещё раз: реакция опоры действует перпендикулярно рычагу из ЦМ, то есть меняет только _момент_ импульса, но не _сам_ импульс. Импульс сохраняется, а так как импульс по горизонтали в начале был нулевой, то ЦМ по горизонтали не движется. Чтобы понять это Лагранжиан не нужен.

Ещё раз: реакция опоры действует перпендикулярно рычагу из ЦМ

Это как такое возможно без трения покоя? Реакция нормальна к поверхности а не к рычагу из ЦМ (да и с чего бы). Школьный курс же :\

Импульс сохраняется, а так как импульс по горизонтали в начале был нулевой, то ЦМ по горизонтали не движется. Чтобы понять это Лагранжиан не нужен.

Ещё раз: ты пытаешься показать такими рассуждениями, что если сначала ЦМ был над О, то он над ней и останется. Ответь как такое знание поможет исключить гипотетические траектории-восьмерки, когда ЦМ двигается чуть-чуть и по горизонтали, и по вертикали?

>>Ещё раз: реакция опоры действует перпендикулярно рычагу из ЦМ

Это как такое возможно без трения покоя? Реакция нормальна к поверхности а не к рычагу из ЦМ (да и с чего бы). Школьный курс же :\

Да-да. Школьный курс геометрии где проводится касательная к окружности.

Ещё раз: ты пытаешься показать такими рассуждениями, что если сначала ЦМ был над О, то он над ней и останется. Ответь как такое знание поможет исключить гипотетические траектории-восьмерки, когда ЦМ двигается чуть-чуть и по горизонтали, и по вертикали?

Закон сохранения импульса прекрасен тем, что он выполняется всегда и абсолютно точно. Это вам не квантовая, а классическая механика. Здесь всё детерминировано. Ваше КО.

> Да-да. Школьный курс геометрии где проводится касательная к окружности.

Возможно, я не прав - надо подумать.

вобще кстати фигня получпеться, вот щас обьясню

нам нужны полярные координаты, угол i и смещение r..что выходит, x=r*cos(i), y=r*sin(i), чему равно r? оно равно r=l-sqrt(x1**2+y1**2), где x1 и y1 проекции етого самого r, l-длина которая дана, но зависит от времени, значит и проекции зависят, но как они зависят на не дано....

Мы по ходу разные задачи решали. У меня размер бревна сразу был нулевой, поэтому всё казалось элементарно и компонента реакции опоры, которая занимается влиянием на ЦМ, а не на раскрутку бревна направлена вертикально вверх.

При не нулевом размере бревна так рассуждать нельзя - обобщая я был не прав.