[математикам] Простые числа

не встречал такого представления. распространённые многомерные обобщения простых чисел - это простые комплексные (числа Гаусса, числа Эйнштейна с простой нормой) и простые кватернионы (числа Липшица, числа Гурвица с простой нормой). с октавианными целыми хуже, т.к. они не удовлетворяют теореме об уникальной факторизации

зачем может понадобиться подобное бесконечномерное представление, я даже не представляю - ну, кроме того что это действительно должно быть красиво

Бред

>>не встречал такого представления. распространённые многомерные обобщения простых чисел - это простые комплексные (числа Гаусса, числа Эйнштейна с простой нормой) и простые кватернионы (числа Липшица, числа Гурвица с простой нормой). с октавианными целыми хуже, т.к. они не удовлетворяют теореме об уникальной факторизации

Спасибо. Тут просто те же натуральные числа только в виде самоподобной пирамиды.

А кстати нет ли аналога теоремы об уникальной факторизации, только с обобщением на вещественные показатели степеней?

Брякнул-и-ушёл-style detected. Обоснуй или занулись.

нет ли аналога теоремы об уникальной факторизации, только с обобщением на вещественные показатели степеней?

не думаю, что это возможно

>А кстати нет ли аналога теоремы об уникальной факторизации, только с обобщением на вещественные показатели степеней?
А разве тогда факторизация будет уникальной?

>>А разве тогда факторизация будет уникальной?

Смотря как её определить. В обычном понимании скорее нет. Просто куча теорем о дискретных понятиях имеют свои непрерывные аналоги. Есть шанс что и тут что-то намутить можно.

>Наверняка её используют дофига где.

Ну простые числа и алгоритмы их нахождения это краеугольный камень криптографии.

А что спросить-то хотел так и не понял :)

>>Ну простые числа и алгоритмы их нахождения это краеугольный камень криптографии.

Да ладно! Не верю, ты меня, наверное, разыгрываешь.

Идея слишком простая, чтобы допустить, что её не исследовал чей-нибудь математический гений. Скорее всего, в ней действительно ничего особого нет.

Хотя все же интересно: первые числа расположены в основном в трех измерениях нашего пространства, поэтому есть возможность их визуализировать и повращать - может, найдется какой-нибудь интересный ракурс, что-то да объясняющий.

Мне почему-то сразу вспомнилась теорема Гудстейна, к чему, правда, вспомнилась, не понятно.

>>теорема Гудстейна

Очень похоже. Правда, формулировка теоремы какая-то не пойми для чего нужная.

>Мне почему-то сразу вспомнилась теорема Гудстейна, к чему, правда, вспомнилась, не понятно.

Это чит :) Близко, но не то, т.к. чтобы вывести формулу для натуральных чисел только через простые числа куда сложнее.

Красивый пример построения счетного бесконечномерного пространства :)

Попробовал бы еще определить в этом пр-ве скалярное умножение, такое, в котором базис из простых чисел был бы ортонормированным: мне кажется, что-то интересное могло бы получиться.

>>пример построения счетного бесконечномерного пространства :)

Кстати да, только одно число это множество точек, и пространство опишется лишь как подмножество множества всех натуральных чисел, а именно не всех, а только тех, которые образуют тривиальное множество из одной точки в нашем бесконечномерном пространстве.

Да и вообще-то счетность множества точек дискретного бесконечномерного пространства можно доказать куда проще.

Эх, забыл математику, помогите вытащить а из формулы: a^p - a = p*b
Кажись я вывел формулу :)

Хорошо было бы это визуализировать. Вышел бы красивый фрактал.

>Каждое число - множество точек в бесконечномерном пространстве c осями из простых чисел и единицы.

Комплексное число же.

>>Комплексное число же.

Вот даже рядом не лежало.

На плоскость можно спроецировать пространство любой размерности. В трехмерное пространство проецировать неудобно как по причине сложности восприятия так и по каким-то математическим причинам.

По идее есть куча литературы по многомерному статистическому анализу но это совсем не мой профиль. Там как раз вроде описываются и методики снижения размерности

Опять же непонятен профит кроме красивости «визуализации», ведь те же 2^n-1 далеко не все простые, вот если можно было бы формулу таким образом изобразить так что все числа в данном пространстве были бы простыми.. но криптографы не зря же свой хлеб жрут, все равно кто-нибудь да ковырял эту идею

да шаманство это все и пифагорейство

рассказывали как-то про неких учОных, которые рисовали таблицу чисел на простыне, потом закрашивали там простые числа и смотрели на получившуюся картину

и выводили всякие зависимости: если в таблице 11 колонок - то мы видим бабочку, а если 23 - то лик святого николая чудотворца ))

Ну так божий дар и яичница. Увидишь божий лик - отправят лечиться, а увидишь например экспоненту - почешут бороду и могут даже одобрить.

Как их складывать?

Система счисления же! Первая цифра справа - число степеней двойки (единиц неинтересно, там всегда 1 будет), вторая - степеней тройки, третья - степеней пятёрки и т.д. Например, 4840 запишется как 20103. Чтобы перемножить, достаточно эти числа сложить. Правда, в любой позиции может быть сколь угодно большое число... [выдыхает]

>>Как их складывать?

Да, геометрически нет никакого простого рецепта для сложения этих множеств. По крайней мере на поверхности.

вообще, да, экспоненты, то есть логарифмы, там уже найдены

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%B...

и даже почти таким же способом:

«Основываясь на таблицах простых чисел, составленных Фелкелем и Вегой, Лежандр предположил в 1796 году, что функция π(x) может быть приближена выражением x / (ln(x) − B), где B = 1.08... — константа, близкая к 1.»

но все равно надеяться на то, что «эстетическое чувство» подскажет какую-нибудь закономерность в такой сложной конструкции не стоит

> Получится адски красивая структура. Каждое число - множество точек в бесконечномерном пространстве c осями из простых чисел и единицы.

Как-то странно. Я бы сказал, что число - все-таки одна-единственная точка(представление в виде произведения степеней простых чисел единственно, это же основная теорема алгебры) и ось из единицы не нужна.

В такой системе координат произведение чисел можно определять как сумму координат (как векторное сложение). Но больше никаких очевидных достоинств у нее нет.

В описанном мной пространстве число - это именно множество точек.

Например, число 77=7*11 это две точки с координатами («7»,«1»,«1»,...) и («11»,«1»,«1»,...).

Число 2^(3*5)*7^(11^13) есть три точки с координатами («2»,«3»,«1»,«1»,...), («2»,«5»,«1»,«1»,...) и («7»,«11»,«13»,«1»,«1»,...).

Векторно тут складывать, увы, нечего.

>>но все равно надеяться на то, что «эстетическое чувство» подскажет какую-нибудь закономерность в такой сложной конструкции не стоит

Это единственный источник вдохновения для конструктивистов-первооткрывателей. Сам Арнольд завещал любую сущность визуализировать и повертеть - нащупать очевидные законы, прежде чем лезть в неё холодными ланцетами-манипуляторами формализма.

> для конструктивистов-первооткрывателей

а также строителей вечного двигателя, опровержений теории относительности и доказательств теоремы Ферма

холодными ланцетами-манипуляторами формализма

прямо так и сказал? пафосу-то )

не, это правильно конечно, я собственно не спорю только сильно сомнительно в данном конкретном случае

> Получится адски красивая структура

Что ты тут красивого нашёл?

Каждое число - множество точек в бесконечномерном пространстве c осями из простых чисел и единицы

С чего это вдруг число стало аж множеством? Что такое пространство является бесконечномерным, надо ещё доказать. С каких пор единица перестала быть простым числом?

Более того, можно пойти ещё дальше.

На нашей дискретной оси есть риски с именами «2», «3», «5», «7», «11» и т.д. Применим аналогичную процедуру для индексации простых чисел.

«2» - 1-е простое число

«3» - 2-е простое число

«5» - 3-е простое число

«7» - 2^2-е простое число

...

«2129» - 2^(3*2)*5-е простое число

...

Тогда число 77=7*11 это две точки с координатами-множествами на осях бесконечномерного пространства

{({({(«1»,«1»,...)},{(«1»,«1»,...)},«1»,«1»,...)},«1»,«1»,...),({({({({(«1»,«1»,...)},«1»,«1»,...)},«1»,«1»,...)},«1»,«1»,...)},«1»,«1»,...)}.

Только теперь, на примере, понял! Да, красота какая-то есть, зато действительно, сложно определить какие-либо операции, ни между числами, ни между множествами.

>>С чего это вдруг число стало аж множеством?

Так ввели, why not?

Что такое пространство является бесконечномерным, надо ещё доказать.

Для использования - не обязательно, ибо это очевидно. Если нужно наполнить авторскую методичку унылой банальщиной - вперед.

С каких пор единица перестала быть простым числом?

Трудно сказать точно, но так уж повелось.

С чего это вдруг число стало аж множеством?

ну тут как раз ничего нового нет, натуральные числа естественно определяются через ординалы; в конце концов, именно теория множеств лежит в основании математики

Здесь, разумеется, каждый из «1» можно расписать как {(«1»,«1»,...)} и по рекурсии как {({(«1»,«1»,...)},{(«1»,«1»,...)},...)} и т.д. до бесконечности, но для краткости их не трогаем.

> Система счисления же! Первая цифра справа - число степеней двойки (единиц неинтересно, там всегда 1 будет), вторая - степеней тройки, третья - степеней пятёрки и т.д. Например, 4840 запишется как 20103. Чтобы перемножить, достаточно эти числа сложить. Правда, в любой позиции может быть сколь угодно большое число... [выдыхает]

Although I'm not a mathematitian, I have the following algorithm for solving that.
Number of dimensions is bounded by the prime as it can be seen by diagonal form of the following table/matrix (lower triangular matrix).

Let's build the following table where rows are natural numbers, columns - are primes (a kind of characteristic function for each number):

p: 2,3,5,7,11,13,...
1: 1,0,...
2: 0,1,0,...
3: 2,0,...
4: 0,0,1,0,...
5: 1,1,0,...
...
4840: 3,0,1,0,2
...

(numbers in the table above are powers of the corresponding prime)


This is like a positional system but reveresed (4840=2^3+3^0+5^1+7^0+11^2+13^0+...=30102000000000... so we are reversing the number to have 0s at the front to simplify: 20103).

Now let's do the process recursively against each individual digit in the same way as we did before (distinguishing between null element and identity element: null and (0,0,0,0,0)),
i.e.
3 = (0,1,0,...)
0 = null
1 = (0,0,0,...)
0 = null
2 = (0,1,0,...)

In this simple example we have only 1s, but on this (1st iteration step) we can get any digit, smaller than existing digit. If it is a prime - it goes into the diagonal as '1'. Otherwise - it is either combination of 1s (in that case - exit) or combination of other digits less than current digit. In the last case - continue iterations - untill we'll get only '1's.


For number 4840 after 1st iteration we had (3,0,1,0,2),
after the second iteration: (0,0,1,0,0),(null),(0,0,0,0,0),(null),(0,1,0,0,0)

etc.

At the end we have some Hilbert space with number of dimensions limited by p(x)=x*ln(x)

> Вот даже рядом не лежало.

почему не лежало?
Гипотеза Римана (http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_hypothesis) - чистые комлексные числа.
Я, после прочитывания «music of primes», где гипотеза разбирается популярно и в исторической перспективе (от Римана до рассчётов Одлыжко) - верю, что природа случайных блужданий (статистика), Гамильтониан (физика), и многое другое подчиняются нулям зета-функции, т.е. простым числам и являются самым натуральным базисом природы. Может это мы считаем неправильно, на уровне «квантовых эффектов» природы, и запутались во флуктуациях и краевых эффектах, а следовало бы - считать только в простых числах, xlogx, итд, по-хорошему. Шутка.

Yes, that's exactly what I mean, excluding several obvious fixes.

Also feel free to switch your keyboard layout by pressing your Ctrl and Alt keys simultaneousely.

Комментарий Siado дзета-функцию явно не предполагал. А так - да, запросто может оказаться что кажущаяся сложность всяких пограничных и поверхностных явлений расщелкивается какой-нибудь простой функцией, независимо от характера системы.