матан-2

Решение тут

Я тут мимо проходил, но навскидочку интеграл должен взяться символически.

ну да, он должен взяться за 20 минут первокурсником. на контрольной.

Эта функция называется разрывным множителем Дирихле

Институтские задачки неинтересны. Я их в своё время все перерешал :)

методами ТФКП этот интеграл берётся за две минуты.

зато я латех освою:)

самое интересное, что если пытаться взять его производную, то получится нечто весьма забавное)

получается дельта функция Дирака:)

ну вот, а теперь представь первокура, который не знает таких слов. Он честно дифференцирует подынтегральную функцию и получает расходящийся интеграл)

Дифференцировать по параметру нельзя, т.к. производная не сходится равномерно

равномерно - это что такое?

не, понятно, что нельзя, но всё же

Дифференцировать можно, но только аккуратно. Этим методом также получается правильный ответ, но его правильность будет непросто строго обосновать.

а можно показать, как это делается? ну хотя бы идею

Эхехе, два года всего прошло, а матан, функан и тфкп уже так резко подзабылись.

Печально.

http://ru.wikipedia.org/wiki/Равномерная_сходимость

а, ну да. к гладкому быстро привыкаешь, забывая основы.

> а можно показать, как это делается?

Введение множителя сходимости.

\int_0^\infty \frac{sin x}{x,\dx = \lim_{\alpha \to 0+}\int_0^\infty \frac{\exp(-\alpha x)sin x}{x,\dx

Производная последнего интеграла по \alpha сходится равномерно при \alpha > 0 и берется аналитически (равна -1/(1+\alpha^2)). Интегрируя ее по \alpha от -\infy до \alpha_0 получаем ответ -arctan(alpha_0) + Pi/2. Полагая alpha_0 =0 получаем результат для интеграла Дирихле

неочевидно. ладно, рано мне ещё

f(a)=0.5 \int [cos(ax)sin(x)/x] dx
Интеграл берётся от минус бесконечности до плюс бесконечности. Продифференцируем теперь левую и правую часть по a
f'(a)=-0.5 \int sin(ax)sin(x) dx = 0.25 \int (cos[(a+1)x] - cos[(a-1)x] dx
разложение δ-функции в интеграл Фурье имеет вид
δ(y) = (1/2π)\int cos(xy) dx (смотри статью в вики о дельта функции)
отсюда находим
f'(a)=0.5π (δ(a+1)-δ(a-1))
интегрируя по а получаем
f(a)=0.25π (sgn(a+1)-sgn(a-1)) +C
Постоянную интегрирования так не определить