[занимательная геометрия] задача

Треугольник ABC. D со стороны A. DB=DC=BC. Точка A в середине равностороннего треугольника DBC. Через точки D, B и C можно провести окружность с серединой в A.

Если на срединном перпендикуляре в правильном треугольнике отложить о точку на расстоянии, равном ребру треугольника, от вершины, она не попадёт в центр треугольника, а будет за пределами. В зависимости от того, в какую сторону откладывать, получаются 4й и 5й варианты.

Инверсия по длине:
1. Ромб. Только одно расстояние между точками не может быть меньше, чем остальные.
2. Равносторонний треугольник с точкой за его пределами. Расстояние только от одной до двух точек не может быть больше, чем между остальными.
3. Равносторонний треугольник с точкой в середине. Только одна точка не может быть на большем расстоянии от остальных, чем те между собой.
4. Равнобедренная трапеция. Четыре точки в ряд не могут иметь большее расстояние, чем вне ряда.
5. Квадрат. Две пары точек не могут быть на меньшем расстоянии, чем вне этих пар.

>>2. Равносторонний треугольник с точкой за его пределами. Расстояние только от одной до двух точек не может быть больше, чем между остальными.

Может. Епт, уже три раза объяснили же. Равносторонний треугольник с точкой над его вершиной, отстоящей ровно на длину ребра.

Что-то ничего красивого не выйдет похоже. Ибо кривизна решения по крайней мере не меньше кривизны условий задачи. А задача довольно несимметричная. Точек 4 и расстояний 2 - лишь одна из кучи комбинаций.

Лучше просто с карандашом посидеть и отсеять в каждом конкретном случае из очевидности.

Согласен, шестой вариант.

Угу. Можно сразу три (исключая ромб) варианта с равносторонним треугольником рассмотреть: точка над вершиной, в середине, под основанием.

>>4,5 - правильный треугольник с точками на срединном перпендикуляре по обе стороны от вершины

В середине окружности и в середине равностороннего треугольника - это, скажем так, один случай.

Да. Но 4,5 совсем не то имеют в виду.

>Интересно, как доказать, что других нет?

Как заметил mclaudt - через классы эквивалентности матриц (4x4).

Где все нули или единицы, противоречат условию задачи.

Также неверными оказываются те варианты, где нет ни одной точки, имеющей более одной 0-ой связи:

 x  1  1  0 
 1  x  0  1 
 1  0  x  1 
 0  1  1  x 

 x  0  1  1 
 0  x  1  1 
 1  1  x  1 
 1  1  1  x 

Пояснение: расстояние между точками при нулевой связи меньше чем при единичной.

>>Также неверными оказываются те варианты, где нет ни одной точки, имеющей более одной 0-ой связи

Любопытно, но маловероятно что за этим что-то есть кроме совпадения. Тем более что вариант со всеми нулями выпадает, хотя попадает под определение.

>Любопытно, но маловероятно что за этим что-то есть кроме совпадения.

Точки A и B на расстоянии x. C и D на расстоянии y от каждой из A и B. Если y>x, то либо CD=0, либо CD>y. Получаем третье расстояние.

Тем более что вариант со всеми нулями выпадает, хотя попадает под определение.

Такое определение: наличие точки с количеством 0-ых связей больше одной, а 1-ых больше нуля.

Все никак не могу успокоиться, действительно ли решений только 6.

Очевидно, что должны присутствовать оба расстояния. Меньшее из них можно принять равным 1, а большее равным 1+r^2.

Тогда без ограничений общности можно считать, что точки имеют координаты:
точка A: (0,0)
точка B: (0,1)
точка C: (x,y)
точка D: (u,v)

Кроме того, можно без ограничений общности считать, что фигура не имеет точек в нижней полуплоскости.

Расстояние между A и С: x^2+y^2=rAC^2
Расстояние между B и C: x^2+(y-1)^2=rBC^2
Вычитая из первого уравнения второе получаем: 2*y-1=rAC^2-rBC^2.
Отсюда мы узнаем значение y, а стало быть и координаты точки C.

Абсолютно аналогично получаются координаты точки D.

Значение r узнаем исходя из расстояния между D и C.

Осталось написать программку для брутфорса...

> а квадрат большего равным 1+r^2

fixed

> фигура не имеет точек в левой полуплоскости

fixed