[функан] полнота в гильбертовом пространстве

последовательность ведь должна к непрерывно-дифференцируемой функции сходиться, а не к непрерывной

ну да. Так из второго sup и получаем, что f_n' сходится к непрерывной функции. А значит, f_n будет непрерывно дифференцируемой. Или не так?

Не знаю.

Вот теорему про то, что предел равномерно сходящейся последовательности функций всегда непрерывен, я помню отлично. А вот как там с дифференцируемостью надо по книжкам посмотреть. По крайней мере то, что ты написал, без ссылки на подходящую теорему обоснованием не является.

Вот теорему про то, что предел равномерно сходящейся последовательности функций всегда непрерывен, я помню отлично.

ну так и имеем, что f_n сходится к непрерывной функции. И f_n' также сходится к непрерывной функции.

разве всегда предел производных есть производная предела ? там не нужно никаких дополнительных условий?

пойду книжку открою, а то все забылось...

разве всегда предел производных есть производная предела ?

а вот это идея. Наверное в этом и есть трабл!

производная - это тоже предел. То есть имеем предел предела. А так как lim((f_n(t+dt)-f_n(t))/dt, dt->0) всегда существует, то предельные переходы можно поменять местами.

а, вот так надо: равномерный предел непрерывно дифференцируемых дифференцируемая функция, и все там должно сходиться куда положено, значит это я зря сомневаюсь

Но вот только там раньше получается неправильно.

int((f_n-f_m)^2)+int((f_n'-f_m')^2)->0
получаем, что sup|f_n-f_m|->0 и sup|f_n'-f_m'|->0

Пусть a=0 b=1 f_n = x^n тогда \int_a^b (f_n) =1/(n+1) -> 0, но непрерывного предела у x^n нет. Сходимость не равномерная.

Пусть a=0 b=1 f_n = x^n тогда \int_a^b (f_n) =1/(n+1) -> 0, но непрерывного предела у x^n нет.

там скалярное произведение еще и из интеграла от производной состоит. И в данной случае:

\int_a^b (nx^(n-1)^2) будет никак не нулем. А значит последовательность таких функций не является сходящейся по норме.

Так что пример не катит.

а распиши поподробнее как ты получаешь что sup -> 0 если Int -> 0 ?

а распиши поподробнее как ты получаешь что sup -> 0 если Int -> 0 ?

ну смотри:

<f,f>=int(f^2)+int((f')^2) -> 0

так как f^2 и f'^2 везде положительные => int везде >0 => каждый из интегралов -> 0. А так как f и f" же непрерывные функции, то следует, что sup f и f' должен -> 0. Ибо если f!=0 в одной точке, то она !=0 и в ее окресности => int строго больше 0.

Ибо если f!=0 в одной точке, то она !=0 и в ее окресности => int строго больше 0.

То что int строго больше нуля не мешает ему тем не менее к этому нулю стремиться. Тут нет противоречия. Посмотри ещё раз на мой пример, он твое это рассуждение опровергает.

Если бы Int был отделен от нуля каким-то фиксированным числом, то да, все было бы круто, а просто строгое неравнство ничего не дает.

То что int строго больше нуля не мешает ему тем не менее к этому нулю стремиться.

ага. я, кажется, понял. Возьмем, например, прямоугольный импульс, начинающийся в -1/n, и кончающийся в 1/n с амплитудой в 1. Тогда n->inf и int=2/n -> 0. но sup равен всегда 1.

Посмотри ещё раз на мой пример, он твое это рассуждение опровергает.

в твоем примере скалярное произведение не стремится к нулю при n->inf. Так как интеграл от производной будет все тот же x^n. А значит второй интеграл всегдя будет равен 1. То есть <x^n, x^n> -> 1.

твоем примере скалярное произведение не стремится к нулю

А мой пример не про исходные функции а про все подинтегральное выражение в целом. Ты ведь никак не используешь скалярное произведение в своем рассуждении, так что как опровержение именно рассуждения этот пример подходит. Он только не подходит как контрпример ко всей задаче.

Но твой тоже не подходит, потому что функции недифференцируемые, так что надо их сгладить до класса C^1 и будет практически решение задачи.

Посмотри ещё раз на мой пример, он твое это рассуждение опровергает.

в твоем примере скалярное произведение не стремится к нулю при n->inf. Так как интеграл от производной будет все тот же x^n. А значит второй интеграл всегдя будет равен 1. То есть <x^n, x^n> -> 1.

тут я натупил. Можно не читать :)

Но твой тоже не подходит, потому что функции недифференцируемые, так что надо их сгладить до класса C^1 и будет практически решение задачи.

ну взять exp(-nx^2) можно. правда надо еще доказать, что int к нулю будет идти, но «интуитивно» оно и так видно.

Ан нет. Не так все просто. под интегралами же квадраты от (x_n'-x_m'). И не факт, что в данном случае эти интегралы от данной функци будут к нулю сходиться.

Но в общих чертах уже вырисовалось все. Спасибо.