Диагонализация симметричной матрицы

Приводить к треугольному виду? Методом Гаусса.

К диагональному. Нам на первом курсе, ЕМНИП, доказывали, что это всегда возможно преобразованием B^T*M*B

ЕМНИП она диагональна в базисе из собственных векторов. Соответственно, находишь собственные векторы, берешь их координатные столбцы, пишешь их друг за дружкой и получаешь матрицу перехода в новый базис.

http://mathworld.wolfram.com/MatrixDiagonalization.html

Как я помню, это диагонализация B^{-1}*M*B. А мне нужно B^T*M*B.

Только надо не путать закон преобразования билинейной формы B^t M B и закон преобразования оператора B^{-1} M B. Так что не абы какой базис из собственных векторов надо брать, а ортогональный, когда B^{-1}=B^t.

если тебе нужна реализация, то ищи тут, вроде как было http://www.srcc.msu.su/num_anal/

матрицы ненужны многочлены наше фсио!!!!!!11

Метод Якоби, вроде, самый простой.

http://ru.wikipedia.org/wiki/Метод_Якоби_для_собственных_значений

Есть теорема о том, что симметричную матрицу M можно диагонализировать преобразованием D = B^T M B.

B - это базис из собственных векторов матрицы M.

Все.

Только надо не путать закон преобразования билинейной формы B^t M B и закон преобразования оператора B^{-1} M B. Так что не абы какой базис из собственных векторов надо брать, а ортогональный, когда B^{-1}=B^t.

если собственные значения разные, то базис автоматически будет ортогонален.

еще можно с помощью симметричного алгоритма Гаусса. Это когда как только ты обнулил столбец - тут же обнуляешь строку.

Матрица B в общем случае будет другая, но это не страшно.

Как я помню, это диагонализация B^{-1}*M*B. А мне нужно B^T*M*B.

если у тебя матрица невырожденная и все собвстенные значения положительны, то базис из собственных векторов будет отвечать требованиям B^-1 = B^t

иначе просто симметричным алгоритмом Гаусса пробуй. хотя там придется в общем случае строки смещать, если матрица вырожденная.

и это. симметричный Гаусс это по-большому счету Cholesky Decomposition.

PS: В общем, я решил эту проблему через многочлены

o_O

если собственные значения разные, то базис автоматически будет ортогонален.

неправда. Очевидный пример

(2 -1)
(0  1)

f1 = (1)
     (1)

f2 = (1)
     (0)

Сопоставив матрице билинейную форму и разложив ее на суммы и разности квадратов.

Какая симметричная у тебя матрица.

В твоем примере матрица несимметрична.

да. сейчас проверю, всегда ли верно для симметричных

Сопоставив матрице билинейную форму и разложив ее на суммы и разности квадратов.

А теперь давай такую матрицу:

(0 1)
(1 0)

:)

Вот я для тебя пример набросал. Думаю понятно, как симметричный Гаусс работает - http://ompldr.org/vZXloag

да. сейчас проверю, всегда ли верно для симметричных

конечно верно. Симметричная матрица самосопряженная =>

пусть v1 и v2 вектора к значениям l1 и l2 тогда:

<Av1, v2>=<v1, Av2> => l1<v1, v2>=l2<v1, v2> => <v1,v2>=0

ЧТД.

да. а теперь прикинь, что будет, если размерность поднять :)

Это если собственные значения не совпадают. В таком случае надо по другому доказывать.

Ну на компьютере вполне можно. Алгоритм совершенно тупой.

в задаче про разные собственные значения ничего не сказано, так что не вижу причин рассматривать частный случай

Это если собственные значения не совпадают. В таком случае надо по другому доказывать.

если они совпадают, то ты ничего не докажешь. Ибо тогда собственному значению отвечает не вектор, а пространство. И в этом подпространстве базис может быть любым. В том числе и ортогональным. И если ты выберешь ортогональный базис для этого пространства, то вкупе с остальными векторами опять же получишь ортогональный базис для всей матрицы.

Ну на компьютере вполне можно. Алгоритм совершенно тупой.

вполне возможно, что он даже заработает. Фактически это тот же самый Гаусс, только через задницу :) Так почему не использовать сразу его?