Друзья!
Почитав тему про определение эффективности ВУЗов, да и просто ради развлечения, предлагаю устроить небольшое состязание по численным методам.
Приглашаются все желающие, способные решить задачу, требующую применения численных методов. Уровень методов — от простейших, до весьма навороченных — позволяет по разному продвинуться в точности решения. Правила просты: решите задачу, написав программу на любимом языке, и запостите сюда три числа в качестве ответа с тем числом значащих цифр, которые считаете верными (сошедшимися). Победителем будет считаться тот, кто первым запостит наиболее точный ответ. Предельной точностью считается точность double — 14-15 значащих цифр. Программу не проверяю — только финальный ответ, но победитель может (если захочет) запостить ее сюда — это одобряется и приветствуется. Сама задача идет ниже.
Задача. Решение уравнение Пуассона-Больцмана для функции распределения противоионов в растворе вокруг центральной (коллоидной) частицы.
В центре сферической полости радиуса R=5σ находится коллоидная частица радиуса σ с зарядом Z = 20. Ее противоионы имеют пренебрежимо малый размер и могут быть где угодно в растворе от σ < r < R. Найти функцию распределения противоионов g(r) в растворе, предполагая, что они подчиняются уравнению Пуассона-Больцмана. А именно:
1. Функция распределения g(r) пропорциональная больцмановской экспоненте от электростатического потенциала, ощущаемого частицей на расстоянии r:
g(r) ~ exp(-ξ Ueff(r)), (1)
где ξ -- длина Бьеррума (параметр задачи, который будет задан ниже). Коэффициент пропорциональности определяется из условия электронейтральности системы ("нормировки")
\int_σ^R 4πr²g(r) dr = Z. (2)
2. Электростатический потенциал, в свою очередь, определяется как:
Ueff(r) = -Qin(r)/r + \int_r^R 4πr g(r) dr, (3)
где
Qin(r) = Z - \int_σ^r 4πr² g(r) dr. (4)
Решить задачу для случая ξ = 1/2 σ.
Вопросы:
а) Найти функцию распределения g(r). Поскольку сетки у всех могут быть разными, в качестве результата запостить g(R) [просто] и g(σ) [сложно].
б) Найти полную электростатическую энергию системы для полученного равновесного распределения:
E = -\int_σ^R Qin(r) 4πr g(r) dr.
