Ослабленная гипотеза Мертенса

cast dikiy, я пасс.

До текущего момента я считал, что нормально знаю матан.

Таким образом, любому свободному от квадратов числу можно взаимно однозначно сопоставить некое целое число b = 2^0 * a1 + 2^1 * a2 + 2^3 * a3 + ... + 2^(k-1) * ak

непонятно, что ты имеешь в виду.

Допустим n=35=5*7. Если ты имеешь в виду, что надо взять ряд простых чисел: 2,3,5,7 проиндексировать и => a1=0, a2=0, a3=1, a4=1. То тогда не сходится у тебя арифметика. А если ты просто хочешь любое свободное от квадратов число представить в двоичной форме - пжлста, но тогда все рассуждения о a1,a2,a3 ни к чему.

При этом для каждого чётного b выполняется равенство μ(n(b)) = -μ(n(b+1)), где μ(n) - функция Мёбиуса

и в свете вышестоящий рассуждений это не следует ниоткуда.

Отлично, я знаю чем теперь пугать ГСМнутых.

При этом для каждого чётного b выполняется равенство μ(n(b)) = -μ(n(b+1)), где μ(n) - функция Мёбиуса, т.е. соответствующие данным числам b и (b+1) свободные от квадратов числа имеют различную чётность числа простых сомножителей.

μ(n(b)) есть четность/нечетность кол-ва единиц в двоичном разложении числа b, при прибавлении единицы она не обязана меняться (0111 + 1 = 1000)

Таким образом, распределение чисел с чётным и нечётным числом сомножителей составляет 1 : 1, т.е. M(n) = O(n^(1/2+ε)), где M(n) - функция Мертенса.

Даже если получится поправить предыдущий абзац, переход к оценке асимптотики требует дополнительных пояснений. Множество чисел делящихся на три, как и множество неделящихся на три счетно. Между ними можно установить взаимно однозначное соответствие, но это не значит в отрезке 1..N на три делятся примерно N/2 чисел.

Что такое n(b)?

n(2k+1) = n(2k)*2 по построению.

Ну т.е. нечётному числу n, свободному от квадратов, соответствует чётное число, свободное от квадратов (и это число 2n). Видно и без двоичных чисел. Что отсюда следует, затрудняюсь сказать.