накидайте геодезических

накидайте примеров геодезических для разных поверхрностей

Есть в любой книжке по дифференциальной геометрии, например: «Геодезические линии на поверхностях» (PDF).

P.S. Пример.jpg :)

так сам же посчитать можешь для произвольной выпуклой поверхности. Вариационная задача должна получиться просто.

если я нигде не ошибся то будет

int(sqrt(x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2),t=0..1) -> Min!

с условиями:

F(x(t),y(t),z(t))=0 для всех t из [0,1]; где F(x,y,z)=0 - уравнение поверхности.
(x(0),y(0),z(0))=(x_0,y_0,z_0) и
(x(1),y(1),z(1))=(x_1,y_1,z_1)

и методом Ритца его трави. как-то так.

я уже написал программу расчета. Но хочу свериться.

тю. я б не парился, а просто на примере сферы бы проверил на сходимость при разных стартовых значениях и все.

На сфере сходится с ожидаемым результатом (ну кроме случая самого края полусферы z = sqrt(x^2+y^2)). А на параболоиде получается весьма нетривиальная кривая, верность которой мне отнюдь не очевидна

А аналитически решить не? ну или хотя бы численно проверить, удовлетворяет ли данная кривая уравнению Эйлера-Лагранжа.

Да уже для сферы в сферических координатах получаются весьма неприятные уравнения

\theta^{''} = sin (2\theta) /2 \cdot (\varphi^{'})^2 
\varphi^{''} = -2 ctg(\theta) \theta^{'}\varphi^{'}
 

но подставить-то результирующие кривые туда можно...

Кстат, а зачем так мутно: (\varphi^{'})^2 ? можно же просто \varphi'^2 с тем же результатом. так же и \theta" вместо \theta^{"}

А ты скомпилируй и проверь разницу.

А поподробней? Такое?

нет

точно. Дык с \varphi^{'} получается хз что, а не производная.

ну мне так более нравится

ну смотри сам %)

man \prime

Тогда что же ты там такое делаешь? Я думал сначала, что изолинии...

строю геодезические в искривленном пространстве.

В конечно счете есть идея визуализировать пролет частиц вблизи черной дыры, при прохождении гравитационных волн итд, методом испускания телами фотонов, а фотоны летят по геодезическим

Ну дык, те же изолинии, только 3D. Вместо шагающих квадратов — шагающие кубы.

визуализировать пролет частиц вблизи черной дыры

о существовании которых еще бабушка надвое нагадала!

Ну дык, те же изолинии, только 3D.

никоим образом. Геодезическая - решение вариационной задачи для длины кривой.

о существовании которых еще бабушка надвое нагадала!

объекты, ведущие себя именно как черные дыры, уже обнаружены. А скоро, по слухам, и напрямую засекут горизонт у центральной ЧД в нашей галактике.

Тогда мне лучше вообще астрофизикой не заниматься. Уже и надеяться-то не на что!

http://www.chaos-math.org/ru

Слово, названное в сабже там присутствует, красиво, забавно, но толком ничего не понял.

А что тут страшного? Дифференцирование же хорошая операция, программируемая. Дополнительная проверка всё равно нужна, частные случаи тебе уверенности не дадут.

А из примеров — можно взять любое тело вращения, описываемое какой-нибудь сложной функцией и проверить, что любой его меридиан — геодезическая.

Можно взять любую «именитую» метрику, того же Шварцшильда к примеру, для которой о поведении геодезических много чего известно, и проверить эти известные факты.

Можно ещё взять многогранник и посмотреть как твоя прога навернется :)

Она уже на конусе навернулась

Хотя нет! Как сказал один человек, «не мучайте машину, она права»

Можно ещё взять многогранник и посмотреть как твоя прога навернется :)

почему это она должна навернуться? на многограннике геодезические определены не хуже, чем на гладкой поверхности. К тому же метод их нахождения все равно опирается на дискретизацию, так что пофиг.

Не, мне нужно гладкое многообразие, т.к. на входе я задаю только метрику и начальную точку.

кстати, для параболоида уравнения Эйлера-Лагранжа не такие уж и сложные получаться.

возможно. Я посмотрел, какая у меня кривая построилась, мне не понравилось.

А для конуса при все более остром угле конуса геодезическая начинает все больше наматываться вокруг оси, а начиная с некоторого угла вообще подходит к вершине, а обратно не хочет уходить. Как-то меня это тревожит

как ищешь ее?

визуализировать пролет частиц вблизи черной дыры

А координаты Риндлера разве не для этого придуманы?

В конечно счете есть идея визуализировать пролет частиц вблизи черной дыры,

кстати, а почему бы просто не решить для этой цели уравнение движения в потенциальном поле?

есть уравнение на геодезическую.

x^{"\mu} = \Gamma^{\mu}_{\alpha \beta} x^{'\alpha} x^{'\beta}

можешь это в матричном виде написать, так как для меня физические тензоры остались за границами понимания %)

хотя ладно. шут с ним, с уравнением. А как ты его решаешь конкретно? Ну и чем это лучше прямого решения вариационной задачи?

Это самое стандартное \nabla_{\dot x} \dot x = 0

Как ты хочешь символы кристофеля в матричном виде, когда у него 3 индекса?

решаю методом рунге-кутты. По ходу решения нахожу производные от метрики методом 3-х либо же 5 точек для нахождения символов кристофеля

Ну и чем это лучше прямого решения вариационной задачи?

ну и как ты собрался напрямую решать вариационную задачу?

таак. x - это я так понимаю вектор \underline x(t), ну то есть линия, так?

как и что дифференцировать тогда? непонятно....

Как ты хочешь символы кристофеля в матричном виде, когда у него 3 индекса?

щит.... я подозревал, что когда-нибудь мне придется осилить тензоры таки....

гаденышь, я ж теперь из библиотеки сегодня до ужина не вылезу :) что ж ты делаешь, а?

Ну и чем это лучше прямого решения вариационной задачи?

ну и как ты собрался напрямую решать вариационную задачу?

Методом Ритца например.

Я вспомнил, как мы как-то на лекции по космологии сворачивали то ли тензор Римана, то ли Ричи. Ушло 3 пары ☺

Читать тут: http://ru.wikipedia.org/wiki/Геодезическая

В многообразиях с аффинной связностью \nabla геодезическая — это кривая \gamma(t), удовлетворяющая уравнению:

\nabla - это связность или ковариантное дифференцирование на многообразии или параллельный перенос.

Геодезическая - это кривая, вектор скорости которой параллелен вдоль неё самой.

А символы кристофеля, кстати, не тензоры)) Они при замене координат преобразуются по-другому

Сдается мне, что точность получится куда ниже. К тому же, в некоторых случаях, искомая геодезическая является не минимумом и не максимумом.

Ушло 3 пары ☺

В общем виде?

Строй для разных размеров груди.

приведи метрику груди

приведи метрику груди

Вот и проведи исследовательскую работу. Совмести науку и удовольствие.