Прошу не спойлерить сюда.

Доказать, что n^2 тоже представимо подобным образом:

http://risovach.ru/upload/2012/04/comics_CHurka_orig_1334597081.jpg

Задачу задали в школе, а ты хочешь, чтобы ЛОР решил? давай своё решение сюда...

иначе получается вот так

что прохожят=то? кватернионы?

n натуральное, квадрат тоже натуральный, ну и все собсна.

Без квантмеха не решить, ты что.

n натуральное, квадрат тоже натуральный, ну и все собсна.

Там не сказано, что любое натуральное n представимо в виде суммы квадратов :)

Если кому поможет, вот табличка для маленьких чисел.

   n -> ( a,  b,  c)
                      n^2 -> ( p,  q,  r)
=========================================
   3 -> 
        ( 1,  1,  1)
                        9 -> 
                             ( 1,  2,  2)
   6 -> 
        ( 1,  1,  2)
                       36 -> 
                             ( 2,  4,  4)
   9 -> 
        ( 1,  2,  2)
                       81 -> 
                             ( 1,  4,  8)
                             ( 3,  6,  6)
                             ( 4,  4,  7)
  11 -> 
        ( 1,  1,  3)
                      121 -> 
                             ( 2,  6,  9)
                             ( 6,  6,  7)
  12 -> 
        ( 2,  2,  2)
                      144 -> 
                             ( 4,  8,  8)
  14 -> 
        ( 1,  2,  3)
                      196 -> 
                             ( 4,  6, 12)
  17 -> 
        ( 2,  2,  3)
                      289 -> 
                             ( 1, 12, 12)
                             ( 8,  9, 12)
  18 -> 
        ( 1,  1,  4)
                      324 -> 
                             ( 2,  8, 16)
                             ( 6, 12, 12)
                             ( 8,  8, 14)
  19 -> 
        ( 1,  3,  3)
                      361 -> 
                             ( 1,  6, 18)
                             ( 6,  6, 17)
                             ( 6, 10, 15)
  21 -> 
        ( 1,  2,  4)
                      441 -> 
                             ( 4,  5, 20)
                             ( 4,  8, 19)
                             ( 4, 13, 16)
                             ( 6,  9, 18)
                             ( 7, 14, 14)
                             ( 8, 11, 16)
  22 -> 
        ( 2,  3,  3)
                      484 -> 
                             ( 4, 12, 18)
                             (12, 12, 14)
  24 -> 
        ( 2,  2,  4)
                      576 -> 
                             ( 8, 16, 16)

Утверждает, что решил :) юный Ферма растёт, ёлы-палы.

Не верю. Решение восьмиклассника в студию. Я знаю только решение основанное на простом, но отчасти не тривиальном факте. Может быть им в классе рассказали об этом свойстве, и тогда задача решается очень просто, но догадаться самому!?

P.S. Ну и нужно уточнить, что принято определение натуральных чисел, в которых 0 не входит в натуральные. (т.е. православноо русское определение натруальных)

P.P.S ну и может дать подсказку, чтобы ЛОРовцы были на уровне восьмикласника, какую тему по математике они проходят? Это упростит задачу

С восьмиклассника спрос какой - он «утверждает, что решил». А вот решение автора, который у нас тоже второй Ферма, «в трамвае хватило времени», интересно было бы увидеть.

который у нас тоже второй Ферма

Вообще-то эта задача (а точнее подобная задача, из которой легко вывести эту) была впервые решена Гауссом, так-что мы тут скорее наблюдаем пример второго Гаусса.

ЛОР, реши мне домашку.

субж

n² = p² + q² + r², p, q, r ∊ ℕ

А оговаривается, что p, q, r < n? А то p = n, q = r = 0 и баста.

Строим декартову систему координат с осями X, Y, Z. Из начала координат O вдоль каждой из осей строим векторы длинами a, b, c соответственно. Вектор, являющийся геометрической суммой предыдущих трёх, будет иметь длину d.

Пусть n = d², тогда:

n = a² + b² + c² ≠ 0
n² = a⁴ + b⁴ + c⁴ + 2a²b² + 2b²c² + 2c²a²
n² = a²b²(2 + a²/b²) + b²c²(2 + b²/c²) + c²a²(2 + c²/a²)
p² = a²b²(2 + a²/b²) ≠ 0
q² = b²c²(2 + b²/c²) ≠ 0
r² = c²a²(2 + c²/a²) ≠ 0

Вроде бы всё.

а из чего следует, что полученные p, q, r - натуральные?

Ну, либо можно представить p², q² и r² следующим образом (чтобы не было придирок с делением на нуль в случае вопроса о причислении нуля к натуральным числам):

p² = a²(a² + 2b²)
q² = b²(b² + 2c²)
r² = c²(c² + 2a²)

Из их формулы. a, b и c же тоже по условию натуральные.

p² = a²(a² + 2b²)
q² = b²(b² + 2c²)
r² = c²(c² + 2a²)

С чего ты взял что a²(a² + 2b²) под корнем будет натуральным?
Натуральные по условию не p² q² r², а p q r

Вообще-то эта задача (а точнее подобная задача, из которой легко вывести эту) была впервые решена Гауссом, так-что мы тут скорее наблюдаем пример второго Гаусса.

Докажите, что второго.

Иога́нн Карл Фри́дрих Га́усс (нем. Johann Carl Friedrich Gauß; 30 апреля 1777, Брауншвейг — 23 февраля 1855, Гёттинген)

Иога́нн Карл Фри́дрих Га́усс (нем. Johann Carl Friedrich Gauß; 30 апреля 1777, Брауншвейг — 23 февраля 1855, Гёттинген)

Абвгд Еёжз Иклмн Опрст (англ. ABCD EFGH IJKLMN OPQRST, 1apr1111, Prjzhcktevec - 30feb1212 Prjzhcktevino)

А где доказательство-то?

0 — не натуральное число.

Действительно :) Этого не учёл.

0 — не натуральное число.

Сейчас большинство профессионалов, насколько я знаю, считают 0 натуральным.

Но если пользоваться школьным представлением, что натуральные числа начинаются с 0, то можно сделать так: пусть a - меньшее из a, b, c; тогда

p = b^2 + c^2 - a^2
q = 2ab
r =2ac

Не мучай народ, все проще. Я тоже подумал общую формулу для n(i) найти. Но из условия ясно, что задача для 8 класса и решение должно быть несложное.

Взгугльнул. Действительно, у меня в голове застряло именно школьное определение.

Любопытно, о каких профессионалах шла речь: неужели о профессиональных теоретических математиках (я знаю, что такие есть и они нужны, но никогда не видел живьём)?

первый умер, значит - второй

Просили же не спойлить.

кто не хотел, тот в тред до момента собственной победы или сдачи не заглядывал.

з.ы. а в движке лора какой-нибудь <cut> имеется? Хотя, пожалуй, не нужно.

Анекдот про «мы не двойняшки» знаешь?

нет, рассказывай

А ты умнее восьмиклассника?

ихний

математику не знаю, но граммар наци во мне негодует.

Ну если быть совсем уж придирчивым, то нужен ещё модуль в твоём р.

Сейчас большинство профессионалов, насколько я знаю, считают 0 натуральным

Всего лишь определение, где удобно — считают, нет — не считают.

И на случай a²+b² = c² надо брать (a²+c²-b²)² + (2bc)² + (2ab)²

Ну если быть совсем уж придирчивым, то нужен ещё модуль в твоём р.

Не нужен. Читай внимательно.

Всего лишь определение, где удобно — считают, нет — не считают.

Конечно. Просто так получилось, что обычно удобно оказывается считать.

Ералаш расскажет лучше меня: http://www.youtube.com/watch?v=DJFbWV0OG0A

Теперь вижу, как вариант. Интересен вопрос, если взять модуль, все ли это решения.

Надо просто b (в моём варианте c) брать наименьшим, тогда c² < a² + b². Об этом писал Miguel.

Интересен вопрос, если взять модуль, все ли это решения.

Нет, конечно. У числа может быть сколько угодно представлений в виде суммы трёх квадратов.

решение основанное на простом, но отчасти не тривиальном факте

Так что за факт был?

Ну распиши n*n, раскрой скобки, сверни результат в три квадрата суммы, — ощути себя Ферма.

Что-то у меня это не получилось.

а что,

n² = n*n = n(a²+b²+c²) = na²+nb²+nc²

не канает? Зачем тут решения сложные и факты нетривиальные?

n² = n*n = n(a²+b²+c²) = na²+nb²+nc² не канает?

Где пруф что абц натуральные?

Блин, не успел стереть свой позор =)

См. удаленные, очень забавный факт, но я подумал, и вижу, что я ошибся. Этот факт не имеет отношения к этой задаче.

Натуральные по условию не p² q² r², а p q r

Уточни, ты имеешь в виду, что квадрат натурального - не натуральное число?

да подставь в это решение пару вариантов и убедись, что оно не работает. если уж с логикой проблемы