Mockmma поможет заменить Mathematica

>А ничего, что решая численно систему ДУ Вы в общем случае будете скакать с решения на решение?

я не занимаюсь физикой, и Вы наверное знаете вопрос лучше - если занимаетесь этим профессионально.
Но я всё же решусь поспорить (хоть и забыл всё напрочь за 20 лет).
Решение систем ДУ - это нахождение каких-то фазовых кривых в фазовом пространстве. Насколько я помню учебник по дифурам (Арнольда в том числе) - там было конечное число (порядка 10) классов особенностей, которые мне напомнили когда-то проекцию 3д мира на 2д (т.е. вращение гладкой фигуры - это трансформация каждой точки на себя саму в стремящейся к нулю окрестности - за сколь угодно малое время. За исклучением особенностей. Появляющихся и исчезающих. Которых не много и можно пересчитать).

Почему не решать систему уравнений в других терминах - в терминах пикселей и траекторий? В терминах картинок и простых правил - для моделирования этих фракталов/картинок. Посмотрите как это делает опять же то-же Вольфрам на простых примерах. Фрактал или аттрактор - обязательно должен считаться аналитически? (это и невозможно из-за разбегания траекторий) А чем картинка плоха? А разве компьютер не может определить непрерывность, замкнутость областей итд - иными от аналитических - методами? Просто имхо надо оторваться от привычных представлений и оперировать другими грамматиками, экспериментировать. Имхо тот-же склоняыемый Вольфрам понял это и ушёл глубоко в компьютеры и моделирование.

>У численных методов и "аналитических" совершенная различные методы, принципиально, и уравнивать их глупо и неграмотно.

я уравнивал в том смысле - что "они нисколько не 2 сорта". Хотя кажется и системы доказательств (не тривиальные) уже существуют в природе. Т.е. и аналитику можно будет поручить машине, и это - дело времени. А для метода - достаточно всего-лишь пропозитионал цалцулуса - как алгебры (если не забыл ничего).
Почему аналитика такая элитарная? Для введения "сумасшествия" со стороны и чтобы Гёдель был доволен (Эйнштейн, кажется говорил что хорошая теория должна быть "достаточно" сумасшедшей) - введём случайный генератор :) Шутка.

Нет, я понимаю о чём вы говорите, но не вижу "1-сортности аналитики", которая до сих пор не знает - есть ли решения у уравнения Навье-Стокса (просто привожу пример - по чему писал курсовую), а экспериментаторы - давно знают как недеструктивным методом ЯМР - найти поле скоростей (из подсчёта обоих коэффициентов вязкости) итд.
Итеративные и экспериментальные методы - это просто другой способ познания действительности. Не менее ценные - чем аналитика. (пример с Навье-Стоксом немного не корректен здесь где говорим об итерациях, а может даже наоборот ;)

s/пропозитионал цалцулуса/propositional calculus'a/

(опять забыл почистить после печатанья в транслите)

имеется в виду - уравнение Навье-Стокса в 3D и поле скоростей крови, нефти итд.

>>А разве компьютер не может определить непрерывность, замкнутость областей итд - иными от аналитических - методами?

Кстати, идея кажется важной. Насколько мне известно, строго доказать это удается лишь аналитически, формально показав выполнение целого списка условий какой-либо используемой теоремы. Список этот порой неочевиден, ненагляден и громоздок.

Позвольте вклиниться и задать вопрос. Вот существует же численный статистический метод интегрирования Монте-Карло. А существуют ли статистические методы вычисления значений предикатов такого типа:

P(A,B) = "функция $A непрерывна в точке $B"(A,B) ?

Чтобы доказать ее непрерывность в какой-либо точке Q области определения, можно либо

1. воспользоваться одной из применимых теорем для "хороших" случаев

либо

2. удовлетворить формальное определение непрерывности по Гейне например.

Допустим, наша функция сложно и не аналитически определяема и первый вариант отпадает. Удовлетворить второй вариант можно лишь перебрав все последовательности точек области определения, сходящиеся к Q - что невозможно ибо их бесконечно много.

Есть ли процедура конструирования последовательностей (фигуррующих в определении непрерывности по Гейне) и их проверки такая, что можно гарантировать с определенной вероятностью, что если значения функции сошлись к f(Q) для всех первых N проверенных последовательностей то значит с вероятностью v(N) функция непрерывна в точке Q?

Это ведь действительно возможность для всех громоздких утверждений приобрести наглядность и интерактивность решения на компьютере. Конечно, вырожденные частные случаи остаются за бортом, хотя в них порой и вся соль, но для физики, возможно, нет необходимости в матстрогости (в природе все гладко), и тогда это - ЧИСЛЕННЫЙ СТАТИТСТИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИСТИННОСТИ УТВЕРЖДЕНИЙ.

В каком направлении посоветуете копать? Есть ли что-то подобное?

да, спасибо за замечательный пример с Монте-Карло:)

> В каком направлении посоветуете копать? Есть ли что-то подобное?

я не специализируюсь в этом - так, любитель и интересующийся.
не знаю.
Видел много у Вольфрама (дома есть книга - посмотрю).
посмотрите - что там есть на сайте МИТ`а,
поискать со стороны фракталов также.

Под пикселями я имел в виду - пиксели любого размера, не обязательно видимые.
Итерируя (увеличивая разрешение) и проверяя граничные точки на какой-то один аттрибут - мы и можем смоделировать проверку неприрывности до любой заданной точности.
Создание такой решётки - кажется не является проблемой. Проверить граничные точки - тоже легко (правда и топологию можно выбрать тоже разную).

Это моё понимание.

вот меня всегда интересовал вопрос - почему графические карты вообще должны знать о 3D мире, триангулировать неприрывный 3D мир ("разлагать всё на атомы/кванты"), считать векторные произведения, вычислять видимость треугольника по знаку (т.е. вычислять зачем-то даже скрытые поверхности) - чтобы потом опять - спроецировать всё на 2D - для потребления 2D-сетчаткой? (ладно, возьмём экран, но он тоже гораздо более компактен чем 3D мир).
Почему не описать 3D модели в виде скрипта - где будут только гладкие преобразования точек в себя, с маленьким сдвигом, и порождение новых точек/кривых (особенности, которых немного) - ведь у Арнольда (и у Тома) - все особенности перечислены - не более 7 для проекций 3D->2D? Кривые хорошо аппроксимировать кривыми Безье (4 точки), а всякие заливки, раскраски маленького 2D экранчика - куда как более компактно (1 точка на цвет) - чем проекции на 3D объекты с многократными преобразованиями. Этакий аналог векторной графики - но для 3D моделей.

Кажется Дум и прочие не считают 3D, а манипулируют 2D паттернами, или не так? А нам кажется - что мы в 3D.
Так можно и со многими другими 3D приложениями и не нужны гонки за fps и мощностью графических процессоров.

Это просто вопрос возникающий у меня всегда - когда я вспомню книги Арнольда и удивительно маленькое перечислимое количество особенностей.

>>будут только гладкие преобразования точек в себя

Тоже приходило такое в голову (в связи с убогостью полигонального(!) 3D на flash-е) - интересная идея! Хотя наверняка маркетологи из Nvidia это тоже учли. С первого взгляда кажется что это будет применимо лишь для контурных мультфильмов, ибо с вычислением освещенности каждой точки возможно не так все просто. А модели описывать чем-то типа NURBS и конвертировать в векторную анимацию.

мне была интересна наша книга "Эксперимент на дисплее", Наука, 1989, там от статьи "Эвм в роли теоретика: символьные выкладки и принципы ИИ в теор.физике" до Монте-Карло и моделирования плазмы, КХД - до систем Геоформ - в популярной форме, для таких как я. Дала мне ещё 20 лет назад убеждение - что аналитика бессильна перед "машинным интеллектом" который делает подстановки и упрощения которые человеку не под силу. Причём это были машины БЭСМ6 (типа 30к RAM, миллион оп/с) и аналитические выкладки, произведённые машиной - вывели систему из 6 уравнений что было недоступно человеку. Т.е. 30 лет назад в СССР уже существовали такие системы ИИ (полинал, редьюс итд). И были на высоте, судя по всему.
Не знаю что есть сейчас по теме.

Вот линк на Вольфрамовскую лекцию:

http://mitworld.mit.edu/video/149/

(книгу я читаю, но пока все основные идеи до которых я дочитал - я уже где-то видел ранее, включая и у Турчина - об эквивалентности различных представлений/моделей, правилах, фракталах и пр., т.е пока я не дочитал до чего-то исключително нового у Вольфрама. Дочитаю - скажу).

> Способность познания вселенной - не являлось жизненно-необходимостью, поэтому мы предназначены скорее для жизни в социальной среде - чем к генереции моделей и построении единой непротиворечивой формальной картины мира. Машины это сделают быстрее. Надо только задать правила.

Никакой мощи не хватит, даже если заставить вычислять каждый атом вселенной. Простые правила можно задать только на очень низком уровне, типа атомного - а дальше всё - полный финиш.

> Никакой мощи не хватит, даже если заставить вычислять каждый атом вселенной. Простые правила можно задать только на очень низком уровне, типа атомного - а дальше всё - полный финиш.

это заблуждение.
Вы так думаете - потому что у Вас мозг слишком сложно устроен.
Почитайте "A New Kind of Science".

Я так думаю, потому что реально занимаюсь сложными проблемами и могу реально оценивать применимость компьютеров к оным.

все рано или поздно утыкаются в сложность - это основная и общая проблема (существовавшая и у греков и всегда).
Значит пока не найдена правильная семантика задачи.

Компьютеры применимы везде - где применим мозг человека. Просто пока мы лидируем за счёт эволюции на протяжении 3-миллиардов лет. Мы можем использовать наши знания и накопленное в генотипе - для построения более умных машин и грамматик в гораздо более короткие сроки, так как уже "какбэ знаем" - что нам нужно (в отличии от эволюционного развития сражающихся за энергию организмов. Говорить что человек - венец творения - значит опровергать диалектику, дальнейшую возможность развития, усложнения систем. И не секрет что именно компьютеры - то что породил человек и то что имеет вычислительное преимущество над "компьютером на мясе^Щбелках". Скоро наверное и более другие компьютеры появятся и в промышленности (на белках, на молекулах, атомах и пр.)

> Скоро наверное и более другие компьютеры появятся и в промышленности (на белках, на молекулах, атомах и пр.)

Не поверите - но бес толку.

Численные методы, алгоритмы, аналитические выражения и даже человеческая речь, мысли - это просто разные представления/семантики одних и тех-же явлений. И реализация компьютера - не важна. Важны отношения. Просто одни представления сложнее - другие - проще (для кого-то) - и всё.
Не в компьютерах проблема - а в тех кто для них разрабатывает задачи и языки. Мы такие же компьютеры.
У Вас видимо какой-то пессимизм и/или плохое настроение. Нельзя же не верить в науку/математику! (Негодует) А во что тогда?
Ну ладно, не буду флудить здесь.

> У Вас видимо какой-то пессимизм и/или плохое настроение.

Нет, просто я реально представляю существующий порядок вещей. Есть вещи, которые грубой силой взять нельзя, так как нет малого параметра по которому можно разложить.

А там где малый параметр есть - проблемами не являлись и без компьютеров.

>Нет, просто я реально представляю существующий порядок вещей. Есть вещи, которые грубой силой взять нельзя, так как нет малого параметра по которому можно разложить.

>А там где малый параметр есть - проблемами не являлись и без компьютеров.

Существует огромная масса других функций - для которого термины непрерывности, разложение по параметру - не имеют смысла. "Новая математика" началась, кажется с Кантора (математики поправят если не так) и сейчас в самом разгаре. Фракталы, аттракторы, квантовая механика, моделирование плазмы, гидродинамики, эволюционные модели, рост растений и живых организмов, архитектура лёгких, мозга, моделирование генотипа - всё это уже не опишешь аналитическими функциями которым нас учили. И только с помощью моделирования на компьютере посредством ввода/поиска подходящих грамматик - можно найти/потрогать эти функции.
ДНК включающая когда надо определённые белки как автомат - это одна из таких грамматик (А какой функцией её аппроксимировать?).

Ну почитайте "A New Kind of Science", хотя бы введение, - прошу вас, или лекции на МИТовском сайте, чем там занимаются. Вы рассуждаете как будто вы из 70-х прямиком, когда физика преподавалась по Ландау-Лившицу и Берклеевскому курсу (из 50-60 годов). В конце прошлого века случились очень большие сдвиги.

> Фракталы, аттракторы, квантовая механика, моделирование плазмы, гидродинамики, эволюционные модели, рост растений и живых организмов, архитектура лёгких, мозга, моделирование генотипа - всё это уже не опишешь аналитическими функциями которым нас учили.

Перечисленные науки очень разные, их лучше не ставить в один ряд. Квантовая механика построена как вполне обычная редукционистская физическая теория: ее центральными методами являются решение уравнений в частных производных и разложение по малому параметру (теория возмущений). Сингулярности там появляются в случае непрерывного спектра и при рассмотрении неаналитичных потенциалов. Принципиальная новизна квантовой механики по сравнению с классической состоит в использовании операторов, образующих некоммутативные алгебры. Курсы Ландау--Лифшица или, например, Зоммерфельда вовсе не утратили актуальности. Простейшие задачи (о потенциальной яме, периодическом потенциале или о прохождении через барьер) сейчас тоже активно используются. Вы слышали про квантовые ямы, точки, сверхрешетки и фотонные кристаллы?

> Ну почитайте "A New Kind of Science", хотя бы введение

Почитал. Книга NKS в основном оперирует какими-то картинками и аналогиями, а не теоремами и доказательствами. Вольфрам, мне думается, несколько рехнулся на клеточных автоматах, не осознает ограничения этой модели да и вообще вычислимости тех или иных физических задач.

Нелинейные модели (нейронные сети, теория бифуркаций, катастроф и т.п.) не являются заменой или альтернативой для классических (линейных), они работают в своих областях применимости и дополняют общую картину.

> Квантовая механика построена как вполне обычная редукционистская физическая теория: ее центральными методами являются решение уравнений в частных производных и разложение по малому параметру (теория возмущений)

я в том смысле - что квантовая механика (диаграммы фейнмана там, волновые функции) - это совершенно другая _знаковая_ модель. Как и теории суперструн и вообще - вся математика. Т.е. это просто чистый _формализм_, в смысле:
http://refal.net/turchin/phenomenon/chapter13.htm
(где наши представления о реальности и аналогиями не помогают и нужно рассматривать чисто формальные системы, а этим занимается и всегда занималась - компутер саенс больше - чем физика)

Кстати Дэвид Дойч (создатель квантовых компьютеров) например ставит "квантЫ" (не копенгагенскую интерпретацию, а теорию полной несхлопнутой волновой функции - в т.ч. множественности миров Эверетта) - в один ряд с теорией эволюции, теорией вычислимости (компутабилити), теорией эволюции - в один ряд. И утверждает - что без понимания одной из них (4х) - не может быть полного понимания строения нашего мира. Они - дополнительны.
Кстати, он совсем не редукционист а emergentist (не знаю как это на русском, ну не индуктивист же).
Кстати, Хоукинг (физик номер 1 - как считают многие) - придерживается теории Эверетта и близких взглядов.
И Вольфрам - emergentist.
Т.е. под "новой наукой" - я имею в виду именно не-редукционизм, а emergentism.
И нисколько это не умаляет великую науку 20в и содержание 7 томов Ландау-Лившица так же справедливы - как и классическая механика Ньютона - поймите меня правильно. Я не сумасшедший - умалять её значение. Просто - как всегда в науке - это становится - частным случаем ;)

> Вольфрам, мне думается, несколько рехнулся на клеточных автоматах, не осознает ограничения этой модели да и вообще вычислимости тех или иных физических задач.

кстати и про Эйнштейна и другие революции в науке говорили то же самое (что они рехнулись;)

как раз наоборот - это редукционизм упёрся в сложность. А клеточные автоматы, фракталы, биоинформатики - пытаются решить проблему сложности с "другой стороны", "с железа" - как бы я определил.
Так же как проблему 3 тел редукционистски уже не решим, а система из N тел (плазма, например) - моделируется на компьютере только так (где аналитика бессильна уже в простых случаях - приходит на помощь моделирование простыми автоматами).
Поэтому я навскидку и перечислил и гидродинамику и КХД и генотип - в одном списке. Где автоматы моделируют нерешаемую аналитикой проблему.

> оперирует какими-то картинками

Это и есть один из новых подходов.

Кстати - выше было обсуждение элегантное обсуждение определения непрерывности.
Представьте - имеем функцию, для которой нет даже аналитического представления. И исследуем непрерывность итерациями (как с фракталами) - до любой точности. Это строго соответствует математическому определению предела. А машина, работая с "картинкой", пикселями (дробя разрешение глубже и глубже) - математически строго исследует непрерывность.
Я не вижу ущербности "картинок" в этом случае (можно "пиксели" и не выводить на экран а держать в структурах - от этого ничего не меняыется).
Это же не виндузовские картинки/иконки в конце концов ;)

s/с теорией эволюции, теорией вычислимости (компутабилити), теорией эволюции - в один ряд/с теорией эволюции, теорией вычислимости (компутабилити), теорией познания - в один ряд/

кстати, хочу "Ткань реальности" Дойча ("The Fabric of Reality") и «Город перестановок» Грега Игана прочитать. Ещё не читал, но кажется - всё о том же - о чём мы спорим.

Все точно так, правда конкретно про Вольфрама у меня тоже есть сомнения. Дело не в том что он оперирует картинками, а в том что практической пользы пока от него нет. Его Mathematica-то основана на проверенных численных методах, а не на его любимых клеточных автоматах.

Нету конкретики. Немного попахивает гсмщиной это все. А уж на теории катастроф, бифуркаций - разного рода спекуляций не счесть. Красивые общеутверждающие фразы про взмах крыла бабочки на практике-то не дают ничего кроме понимания сложности. Формулы нужны, формулы! А их-то товарищи популяризаторы стараются избегать, отмахиваясь уже в который раз листиком папортника и кривой Коха.

s/выше было обсуждение элегантное обсуждение определения непрерывности/
выше было обсуждение элегантного определения непрерывности/

/сорри за опечатки

> А уж на теории катастроф, бифуркаций - разного рода спекуляций не счесть.

А сколько было спекуляций в начале 20 века на основе квантовой механики, дарвинизма, фрейдизма?

Сегодня никто не ставит под сомнение по-крайней мере первые два ;)

Я думаю - это всё только начало..

>>Вольфрам, мне думается, несколько рехнулся на клеточных автоматах, не осознает ограничения этой модели да и вообще вычислимости тех или иных физических задач.

Тоже возникло такое впечатление. Все у него туманно. Чтобы конкретизировать - тут постарался описать конкретное применение. Интересует ваше мнение.

http://www.linux.org.ru/view-message.jsp?msgid=3785697&page=2#3793492

> Формулы нужны, формулы! А их-то товарищи популяризаторы стараются избегать, отмахиваясь уже в который раз листиком папортника и кривой Коха.

Ну как - моделирование плазмы или потоков жидкостей/газа - вполне конкретны и приносят результаты.
Формулой являются компьютерные программы и модели. Результат - сравнивается с действительностью/экспериментом.
Всё научно.

А моделирование поведения живых организмов (например, вывод системы из 6 уравнений машиной - ещё в 80-е, приведённый мной выше) - дают конкретные формулы, что чистым аналитикам просто не по зубам.

>>Кстати, Хоукинг - придерживается теории Эверетта и близких взглядов.

Он делает неплохие деньги на своих книгах. Намешивать в кучу весь свой богатейший опыт и ничего не конкретизировать - беспроигрышный вариант. Думаю если бы что-то было за его словами - то давно сказалось бы на его научной работе.

С точки зрения пользы лекции Босса намного полезнее думающему человеку нежели окологсмные завывания про фракталы от мэтров теорфизики.

Так что думаю надо поделить на 10-15 всю эту болтовню популистов^Wпопуляризаторов а изучить наверняка что-нить из алгебраической топологии.

ps Кстати теория Эверетта - лишь метод сожительства квантов и здравого смысла, но никак не теория. Просто объяснение на усвояемых моделях.

2 gkrellm

вопрос не ко мне конечно, но позвольте высказаться.

А что - есть какие-то сомнения?
У вас есть функция- как угодно полученная/построенная.
Попеременным увеличением разрешения - вы исследуете её непрерывность путём проверки соседей.
Всё же строго. Определение непрерывности строго соответствует тому что мы делаем.

Мне кажется - тут и сомневаться не в чем (тут даже 3 сосен нет - чтобы заблудиться, сделать ошибку).

Извините за встревание.

>>Я думаю - это всё только начало..

Хочется так думать) Надеюсь что из очевидно витающей сейчас в воздухе красивой идеи кристаллизуются конкретные результаты - простые и свежие, как упомянутые вами классификации у Арнольда. А спекулянтский шлак сгорит в печке.

>>Попеременным увеличением разрешения - вы исследуете её непрерывность путём проверки соседей. Всё же строго.

Увы, это не так. Все возможные дорожки подхода к точке не проверить. Суть в том чтобы "правильно взять выборку". Но абсолютной строгости нет - это лишь вероятностный подход (хоть и желательно с 99.999%-ной точностью, которой на практике достаточно).

Да, будем надеяться..
На самом деле, я думаю вот те области и надо копать - где горячо (те на чём спекулируют великие физики - ну не все же они сошли с ума и не дорожат своим именем). А "спекулянтский шлак" - он даёт какое-то поступление финансов в дальнейшее развитие. Как же без него? Я думаю - не в последнюю очередь после "шлака" начала 20 века - в науке оказалось так много людей, способных продвинуть науку дальше. Всё же взаимосвязано. Так что больше "шлака", больше денег в науку (а серьёзные люди всегда найдут - чем они хотят заниматься, а чем - нет)!

> Увы, это не так. Все возможные дорожки подхода к точке не проверить. Суть в том чтобы "правильно взять выборку". Но абсолютной строгости нет - это лишь вероятностный подход (хоть и желательно с 99.999%-ной точностью, которой на практике достаточно).

Ну о кей - теоретически мы можем исследовать N путей, где N-любое (зависит от модели, но не ограничено каким-то определённым пределом, т.е. суть - только проблема имплементации, у совершенствования которой - нет предела), и до любой точности (тоже нет захардкоженного теорией предела). Что ещё надо?

Чем интеграл по замкнутой траектории, градиент, частные производные, вернее их символы/обозначения - лучше символов считающей программы. Ну обзовите всю ту программу каким-нибудь китайским крючком и это будет тоже аналитика :)

ну ладно, успехов

/me пошёл читать Вольфрама - скоро надо в библиотеку возвращать

> Чтобы конкретизировать - тут постарался описать конкретное применение. Интересует ваше мнение.

Я не математик, если что, не могу профессионально судить о доказательствах, поэтому буду рассуждать чисто философски.

Вы имеете в виду automated theorem proving? Ну да, можно доказывать некое утверждение, перебрав все его следствия и убедившись, что ни одно из них не является ложным, а для автоматизации перебора использовать компьютер. Или делать то же самое методом "от противного". При этом возникает вопрос о полноте набора перебираемых случаев. Для некоторых утверждений, вроде теоремы Яна--Теллера (это из физики), полнота набора очевидна: перебираем все возможные конфигурации атомов и все возможные группы точечной симметрии молекул. А вот для абстрактных математических утверждений полнота может быть и неочевидна, и придется доказывать отсутствие исключений из этого набора. Не факт, что это будет проще, чем доказательство исходной теоремы.

Ну тут скорее не доказательство теорем а исследование свойств функции.

Про автоматизацию доказательств - немного другое - ибо там правильный перебор всех вариантов. Кстати был и проект QED - quod erat demonstrandum (бывает же - еще в детстве думал что именно так назову свою подобную систему - а тут открыл интернеты и нате! оно уже есть и под тем же именем) http://en.wikipedia.org/wiki/QED_project

Тут речь идет о том чтобы перебрать допустим 1000 вариантов из бесконечного числа возможных (выбрав их по какому-нибудь фрактальному алгоритму), убедиться что результат не меняется и констатировать факт.

Даже если задан алгоритм (функция) для выбора вариантов, то все равно нужно доказывать полноту. Кроме того, в любом конечном интервале бесконечное число точек, перебором тут трудно отделаться. В результате получится "доказательство", справедливое в пределах точности вычислений, которая по определению конечна. Для рассуждений в физике это еще пройдет, но делать такие вещи с идеальными математическими объектами некорректно. Если есть возможность, то нужно работать с другими определениями и теориями, в рамках которых доказательство станет проще. Прибегать к вычислениям -- значит сдаться и сказать, что такие теории и определения построить невозможно.

Не стоит делать из компьютерного моделирования культ, как Вольфрам, и говорить, что это единственный и наиболее универсальный метод исследования. На мой взгляд, это равносильно какой-то позорной интеллектуальной капитуляция сложного мозга перед намного менее сложной электроникой.

На новостных сайтах совершенно невозможно обсуждать какие-то серьезные идеи. Люди постоянно скачут за новыми событиями, пытаясь "завоевать настоящее" и высказаться по каждому поводу. Но это пустая трата времени, т.к. никаких новых знаний благодаря этому не приобретается.

>>На новостных сайтах совершенно невозможно обсуждать какие-то серьезные идеи. Люди постоянно скачут за новыми событиями, пытаясь "завоевать настоящее" и высказаться по каждому поводу. Но это пустая трата времени, т.к. никаких новых знаний благодаря этому не приобретается.

Это так. Однако годные треды таки-мониторятся. )

>>Не стоит делать из компьютерного моделирования культ, как Вольфрам, и говорить, что это единственный и наиболее универсальный метод исследования.

Ни в коем случае, согласен. Просто я представил себе в работе описанную мною систему грубого исследования свойств функции, насколько она полезна для математика. В интерактивном режиме расчетов на грубой сетке отображаются основные области и особенности функции. С оговоркой что это работает для 99% функций.

В связи с этим если позволите небольшое ответвление.

Порою для понимания математического наглядного содержания теорем и фактов приходится манипулировать несложными объектами в трехмерном пространстве. Например чтобы понять суть показательной комплексной функции exp(z), мне помогла следующая процедура.

1. Плоскость области определения сворачивается в трубку, совмещая точки у которых delta(Im(z))=N*2Pi*i

2. Эта трубка наклеивается на раструб - поверхность вращения, образованную экспонентой.

3. Раструб ориентируется острием вниз и проецируется на область значений.

Имея такой образ перед глазами, можно легко прикидывать образы и прообразы данного отображения.

Сомневаюсь что существует интерактивный визуальный математический пакет для такого рода действий. Поясню - нужна функциональность интерактивного _визуального_ уровня (срезать график плоскостью, спуститься по градиенту, сдвинуть в нуль, спроектировать на сферу, отразить относительно единичной окружности).

Какой из матпакетов наиболее близок к описанному? Я прекрасно понимаю что и в маткаде можно все перечисленные шаги набить - но только задним числом, имея уже в голове понимание. А хочется с матпакетом подобного рода именно _исследовать_.